大学物理A习题答案 下载本文

I?2v?v? ⑤

m220所以

(v0?求得

I?212)?v0??2 mlmv0??(2)相碰时小球受到的冲量为

l?Il1M(1?2)?(1?)?223mml6(2?33m?M12mgl

?Fdt??mv?mv?mv由①式求得

0

?Fdt?mv?mv0????6(2?3)M6gl

I?1??Ml? l3负号说明所受冲量的方向与初速度方向相反.

题2-30图

2-30 一个质量为M、半径为R并以角速度?转动着的飞轮 (可看作匀质圆盘),在某一瞬时突然有一片质量为m的碎片从轮的边缘上飞出,见题2-30图.假定碎片脱离飞轮时的瞬时速度方向正好竖直向上. (1)问它能升高多少?

(2)求余下部分的角速度、角动量和转动动能. 解: (1)碎片离盘瞬时的线速度即是它上升的初速度

v0?R?

设碎片上升高度h时的速度为v,则有

2v2?v0?2gh

令v?0,可求出上升最大高度为

2v0122H??R?

2g2g(2)圆盘的转动惯量I?11MR2,碎片抛出后圆盘的转动惯量I??MR2?mR2,碎片脱离前,盘的角动量为I?,22碎片刚脱离后,碎片与破盘之间的内力变为零,但内力不影响系统的总角动量,碎片与破盘的总角动量应守恒,即

I??I????mv0R

式中??为破盘的角速度.于是

11MR2??(MR2?mR2)???mv0R 2211(MR2?mR2)??(MR2?mR2)?? 22得???? (角速度不变)

圆盘余下部分的角动量为

1(MR2?mR2)? 2转动动能为

题2-31图

Ek?11(MR2?mR2)?2 222-31 一质量为m、半径为R的自行车轮,假定质量均匀分布在轮缘上,可绕轴自由转动.另一质量为m0的子弹以速度

v0射入轮缘(如题2-31图所示方向).

(1)开始时轮是静止的,在质点打入后的角速度为何值?

(2)用m,m0和? 表示系统(包括轮和质点)最后动能和初始动能之比. 解: (1)射入的过程对O轴的角动量守恒

Rsin?m0v0?(m?m0)R2?

∴ ??m0v0sin?

(m?m0)Rmvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2???(2)

1Ek0m?m02m0v022-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示,弹簧的劲度系数为2.0 N2m;定滑轮的转动惯量是0.5kg2m,半径为0.30m ,问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时,它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长.

解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统,重物下落的过程中,机械能守恒,以最低点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则有

-1

2

mgh?又 ??v/R

111mv2?I?2?kh2 222(2mgh?kh2)k2故有 v?

mR2?I(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.32? 6.0?0.32?0.5?2.0m?s?1

题2-32图 题2-33图

2-33 空心圆环可绕竖直轴AC自由转动,如题2-33图所示,其转动惯量为I0,环半径为R,初始角速度为?0.质量为m的小球,原来静置于A点,由于微小的干扰,小球向下滑动.设圆环内壁是光滑的,问小球滑到B点与C点时,小球相对于环的速率各为多少?

解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒,当小球滑至B点时,有

I0?0?(I0?mR2)? ①

该系统在转动过程中,机械能守恒,设小球相对于圆环的速率为vB,以B点为重力势能零点,则有

11122I0?0?mgR?(I0?mR2)?2?mvB ② 222联立①、②两式,得

22I0?0RvB?2gR? 2I0?mR(2)当小球滑至C点时,∵Ic?I0 ∴?c??0 故由机械能守恒,有

mg(2R)?∴ vc?2gR 请读者求出上述两种情况下,小球对地速度.

12mvc 2习题四

4-1 符合什么规律的运动才是谐振动?分别分析下列运动是不是谐振动: (1)拍皮球时球的运动;

(2)如题4-1图所示,一小球在一个半径很大的光滑凹球面内滚动(设小球所经过的弧线很 短).

题4-1图

解:要使一个系统作谐振动,必须同时满足以下三个条件:一 ,描述系统的各种参量,如质量、转动惯量、摆长……等等在运动中保持为常量;二,系统 是在 自己的稳定平衡位置附近作往复运动;三,在运动中系统只受到内部的线性回复力的作用. 或者说,若一个系统的运动微分方程能用

d2???2??0 2dt描述时,其所作的运动就是谐振动.

(1)拍皮球时球的运动不是谐振动.第一,球的运动轨道中并不存在一个稳定的平衡位置; 第二,球在运动中所

受的三个力:重力,地面给予的弹力,击球者给予的拍击力,都不是线 性回复力.

(2)小球在题4-1图所示的情况中所作的小弧度的运动,是谐振动.显然,小球在运动过程中 ,各种参量均为常量;该系统(指小球凹槽、地球系统)的稳定平衡位置即凹槽最低点,即系统势能最小值位置点O;而小球在运动中的回复力为?mgsin?,如题4-1图(b)所示.题 中所述,?S<<R,故???S→0,所以回复力为?mg?.式中负号,表R示回复力的方向始终与角位移的方向相反.即小球在O点附近的往复运动中所受回复力为线性的.若以小球为对象,则小球在以O?为圆心的竖直平面内作圆周运动,由牛顿第二定律,在凹槽切线方向上有

d2?mR2??mg?

dt令??2g,则有 Rd2???2?0 2dt4-2 劲度系数为k1和k2的两根弹簧,与质量为m的小球按题4-2图所示的两种方式连 接,试证明它们的振动均为谐振动,并分别求出它们的振动周期.

题4-2图

解:(1)图(a)中为串联弹簧,对于轻弹簧在任一时刻应有F?F1?F2,设串联弹簧的等效倔强系数为K串等效位移为

x,则有

F??k串xF1??k1x1

F2??k2x2

又有 x?x1?x2

x?所以串联弹簧的等效倔强系数为

FFF?1?2 k串k1k2k串?k1k2

k1?k2即小球与串联弹簧构成了一个等效倔强系数为k?k1k2/(k1?k2)的弹簧振子系统,故小球作谐振动.其振动周期为

T?2???2?m(k1?k2)m?2? k串k1k2(2)图(b)中可等效为并联弹簧,同上理,应有F?F1?F2,即x?x1?x2,设并联弹簧的倔强系数为k并,则有

k并x?k1x1?k2x2