题5-6 图多普勒效应
5-7 一平面简谐波沿x轴负向传播，波长?=1.0 m，原点处质点的振动频率为?=2. 0 Hz，振幅A＝0.1m，且在t=0时恰好通过平衡位置向y轴负向运动，求此平面波的波动方程．
解: 由题知t?0时原点处质点的振动状态为y0?0,v0?0，故知原点的振动初相为
?,取波动方程为2y?Acos[2?(tx?)??0]则有 T?x?y?0.1cos[2?(2t?)?]
12?0.1cos(4?t?2?x??2)m
5-8 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y=Acos(Bt?Cx)，其中A，B，C 为正值恒量．求： (1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；
(2)写出传播方向上距离波源为l处一点的振动方程；
(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d的两点的位相差． 解: (1)已知平面简谐波的波动方程
y?Acos(Bt?Cx) (x?0)
将上式与波动方程的标准形式
y?Acos(2??t?2?比较，可知： 波振幅为A，频率??波长??x?)
B， 2?2?B，波速u????， CC12?波动周期T??．
?B(2)将x?l代入波动方程即可得到该点的振动方程
y?Acos(Bt?Cl)
(3)因任一时刻t同一波线上两点之间的位相差为 ???将x2?x1?d，及??2??(x2?x1)
2?代入上式，即得 C???Cd．
5-9 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y=0.05cos(10?t?4?x)，式中x,y以米计，t以秒计．求：
(1)波的波速、频率和波长；
(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；
(3)求x=0.2m处质点在t=1s时的位相，它是原点在哪一时刻的位相?这一位相所代表的运动状态在t=1.25s时刻到达哪一点?
解: (1)将题给方程与标准式
y?Acos(2??t?2??x)
?1?1相比，得振幅A?0.05m，频率??5s，波长??0.5m，波速u????2.5m?s．
(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为
vmax??A?10??0.05?0.5?m?s?1
amax??2A?(10?)2?0.05?5?2m?s?2
(3)x?0.2 m处的振动比原点落后的时间为
x0.2??0.08s u2.5故x?0.2m,t?1s时的位相就是原点(x?0)，在t0?1?0.08?0.92s时的位相， 即 ??9.2π． 设这一位相所代表的运动状态在t?1.25s时刻到达x点，则
x?x1?u(t?t1)?0.2?2.5(1.25?1.0)?0.825m
5-10 如题5-10图是沿x轴传播的平面余弦波在t时刻的波形曲线．(1)若波沿x轴正向传播，该时刻O，A，B，C各点的振动位相是多少?(2)若波沿x轴负向传播，上述各点的振动 位相又是多少? 解: (1)波沿x轴正向传播，则在t时刻，有
题5-10图
对于O点：∵yO?0,vO?0，∴?O??2
对于A点：∵yA??A,vA?0，∴?A?0 对于B点：∵yB?0,vB?0，∴?B???2
3? 2(取负值：表示A、B、C点位相，应落后于O点的位相)
对于C点：∵yC?0,vC?0，∴?C??(2)波沿x轴负向传播，则在t时刻，有
?????0,vO??0，∴?O对于O点：∵yO?2
??对于A点：∵y?A??A,vA?0，∴?A?0
? 23?????0,vC??0，∴?C对于C点：∵yC
2?对于B点：∵y?B?0,vB?0，∴?B? (此处取正值表示A、B、C点位相超前于O点的位相)
-1
5-11 一列平面余弦波沿x轴正向传播，波速为5m2s，波长为2m，原点处质点的振动曲线如题5-11图所示． (1)写出波动方程；
(2)作出t=0时的波形图及距离波源0.5m处质点的振动曲线．
解: (1)由题5-11(a)图知，A?0.1 m，且t?0时，y0?0,v0?0，∴?0?又??3?， 2u??5?2.5Hz，则??2???5? 2题5-11图(a)
取 y?Acos[?(t?)??0]， 则波动方程为
xuy?0.1cos[5?(t?(2) t?0时的波形如题5-11(b)图
x3??)]m 52
题5-11图(b) 题5-11图(c) 将x?0.5m代入波动方程，得该点处的振动方程为
y?0.1cos(5?t?5??0.53??)?0.1cos(5?t??)m 0.52如题5-11(c)图所示．
5-12 如题5-12图所示，已知t=0时和t=0.5s时的波形曲线分别为图中曲线(a)和(b) ，波沿x轴正向传播，试根据图中绘出的条件求： (1)波动方程；
(2)P点的振动方程．
A?0.1m，??4m，t?0时，解: (1)由题5-12图可知，又，∴?0?y0?0,v0?0，
??x1??2m?s?1，，而u?2?t0.5??u??2?0.5 Hz，∴??2???? 4故波动方程为
x?y?0.1cos[?(t?)?]m
22(2)将xP?1m代入上式，即得P点振动方程为
y?0.1cos[(?t??2??2)]?0.1cos?t m
题5-12图
-1
5-13 一列机械波沿x轴正向传播，t=0时的波形如题5-13图所示，已知波速为10 m2s ，波长为2m，求： (1)波动方程；
(2) P点的振动方程及振动曲线； (3) P点的坐标；
(4) P点回到平衡位置所需的最短时间． 解: 由题5-13图可知A?0.1m，t?0时，y0?A?,v0?0，∴?0?，由题知??2m， 2310?5Hz
?2∴ ??2???10?
u?10m?s?1，则??u?(1)波动方程为
y?01.cos[10?(t?x?)?]m 103
题5-13图
A?4?,vP?0，∴?P? (P点的位相应落后于0点，故取负值) 234∴P点振动方程为yp?0.1cos(10?t??)
3x?4(3)∵ 10?(t?)?|t?0???
10335∴解得 x??1.67m
3(4)根据(2)的结果可作出旋转矢量图如题5-13图(a)，则由P点回到平衡位置应经历的位相角
(2)由图知，t?0时，yP??
题5-13图(a)