EP??GM月r?GM地
?R?r?117.35?10225.98?1024?11 ??6.67?10??6.67?10??38.4?3.83??1073.83?107?1.28?106J
2-17 由水平桌面、光滑铅直杆、不可伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块组成如题2-17图所示装置,弹簧的劲度系数为k,自然长度等于水平距离BC,m2与桌面间的摩擦系数为?,最初m1静止于A点,AB=
BC=h,绳已拉直,现令滑块落下m1,求它下落到B处时的速率.
解: 取B点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则由功能原理,有
??m2gh?式中?l为弹簧在A点时比原长的伸长量,则
11(m1?m2)v2?[m1gh?k(?l)2] 22?l?AC?BC?(2?1)h
联立上述两式,得
v?2?m1??m2?gh?kh2m1?m2?2?1?2
题2-17图
2-18 如题2-18图所示,一物体质量为2kg,以初速度v0=3m2s从斜面A点处下滑,它与斜面的摩擦力为8N,到达B-1
点后压缩弹簧20cm后停止,然后又被弹回,求弹簧的劲度系数和物体最后能回到的高度. 解: 取木块压缩弹簧至最短处的位置为重力势能零点,弹簧原 长处为弹性势能零点。则由功能原理,有
?frs?12?12?kx??mv?mgssin37?? 2?2?12mv?mgssin37??frs k?212kx2式中s?4.8?0.2?5m,x?0.2m,再代入有关数据,解得
k?1390N?m-1
题2-18图
再次运用功能原理,求木块弹回的高度h?
?frs??mgs?sin37o?代入有关数据,得 s??1.4m, 则木块弹回高度
12kx 2h??s?sin37o?0.84m
题2-19图
2-19 质量为M的大木块具有半径为R的四分之一弧形槽,如题2-19图所示.质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下,大木块放在光滑水平面上,二者都作无摩擦的运动,而且都从静止开始,求小木块脱离大木块时的速度. 解: m从M上下滑的过程中,机械能守恒,以m,M,地球为系统,以最低点为重力势能零点,则有
11mv2?MV2 22又下滑过程,动量守恒,以m,M为系统则在m脱离M瞬间,水平方向有
mv?MV?0
mgR?联立,以上两式,得
v?2MgR
?m?M?2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞,试证碰后两小球的运动方向互相垂直. 证: 两小球碰撞过程中,机械能守恒,有
121212mv0?mv1?mv2 22222即 v0 ① ?v12?v2
题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中,动量守恒,即有
???mv0?mv1?mv2
亦即 v0?v1?v2 ②
由②可作出矢量三角形如图(b),又由①式可知三矢量之间满足勾股定理,且以v0为斜边,故知v1与v2是互相垂直的.
??????2-21 一质量为m的质点位于(x1,y1)处,速度为v?vxi?vyj, 质点受到一个沿x负方向的力f的作用,求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩. 解: 由题知,质点的位矢为
??????r?x1i?y1j
作用在质点上的力为
??f??fi
所以,质点对原点的角动量为
???L0?r?mv
?????(x1i?y1i)?m(vxi?vyj)
??(x1mvy?y1mvx)k
作用在质点上的力的力矩为
???????M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk
2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为r1=8.75310m 时的速率是v1=5.46310m2s,
10
4
-1
它离太阳最远时的速率是v2=9.08310m2s这时它离太阳的距离r2多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。)
2
-1
解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用,所以角动量守恒;又由于哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故有
r1mv1?r2mv2
r1v18.75?1010?5.46?10412∴ r2???5.26?10m 2v29.08?10????????12-23 物体质量为3kg,t=0时位于r?4im, v?i?6jm?s,如一恒力f?5jN作用在物体上,求3秒后,(1)物体
动量的变化;(2)相对z轴角动量的变化.
??3???1 解: (1) ?p??fdt??5jdt?15jkg?m?s
0(2)解(一) x?x0?v0xt?4?3?7
1215at?6?3???32?25.5j 223?????即 r1?4i,r2?7i?25.5j
y?v0yt?vx?v0x?1
5vy?v0y?at?6??3?11
3??????即 v1?i1?6j,v2?i?11j
∴ L1?r1?mv1?4i?3(i?6j)?72k
???????????????L2?r2?mv2?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k
????∴ ?L?L2?L1?82.5kkg?m2?s?1
解(二) ∵M?dz dt00??t?t?∴ ?L??M?dt??(r?F)dt
?152???????(4?t)i?(6t?)?t)j??5jdt023??
??3??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?130
题2-24图
2-24 平板中央开一小孔,质量为m的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物.小球作匀速圆周运动,当半径为r0时重物达到平衡.今在M1的下方再挂一质量为M2的物体,如题2-24图.试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少?
解: 在只挂重物时M1,小球作圆周运动的向心力为M1g,即
M1g?mr0?0挂上M2后,则有
2
①
(M1?M2)g?mr???2
②
重力对圆心的力矩为零,故小球对圆心的角动量守恒. 即 r0mv0?r?mv?
?r02?0?r?2?? ③
联立①、②、③得
?0????r??M1gmr0M1gM1?M23()mrM012
M1?M2g??m?M1?r0M1?M2-1
2-25 飞轮的质量m=60kg,半径R=0.25m,绕其水平中心轴O转动,转速为900rev2min.现利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F,可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题2-25图所示,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数? =0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求:
(1)设F=100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转?