高等数学教案 空间解析几乎与向量代数
设点M到旋转轴l的距离为a ??再在l轴上任取一点O作向量r??OM??并以? 表示?与r的夹角??那么
a???|r| sin? ??
设线速度为v??那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知??v的大小为
|v|??|??|a ??|?| |r| sin?
v的方向垂直于通过M点与l轴的平面??即v垂直于?与r??又v的指向是使?、r、v符合右手规则??因此有
v?????r??
?小结?
1. 向量的点积和叉积运算； 2. 向量间的关系：平行和垂直； 3. 向量两种乘积的计算公式。
教学方式及教学过程中应注意的问题
在教学过程中要注意向量的点积和叉积运算公式，向量之间的关系，要结合实例，反复讲解。
师生活动设计
?????????????1.设a?i?2j?k ，b??i?j，计算a?b及a?b，并求a,b夹角?的正弦和余弦。
2.用向量方法证明正弦定理：
abc?? sinAsinBsinC讲课提纲、板书设计
作业 P22: 1,3，4，9（1）（2），10
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高等数学教案 空间解析几乎与向量代数
§8? ?3 曲面及其方程
一、曲面方程的概念
在空间解析几何中? 任何曲面都可以看作点的几何轨迹? 在这样的意义下? 如果曲面S与三
元方程
F(x? y? z)?0
有下述关系????
(1) 曲面S上任一点的坐标都满足方程F(x? y? z)?0? ? (2) 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程F(x? y? z)?0?
那么? 方程F(x? y? z)?0就叫做曲面S的方程? 而曲面S就叫做方程F(x? y? z)?0的图形? ? 常见的曲面的方程????
例1 建立球心在点M0(x0? y0? z0)、半径为R的球面的方程? ? 解 设M(x? y? z)是球面上的任一点? 那么
|M0M|?R? ? 即
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R?
或 (x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?
这就是球面上的点的坐标所满足的方程? 而不在球面上的点的坐标都不满足这个方程? 所以
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?
就是球心在点M0(x0? y0? z0)、半径为R的球面的方程? ?
特殊地? 球心在原点O(0? 0? 0)、半径为R的球面的方程为 x2?y2?z2?R2? ?
例2 设有点A(1? 2? 3)和B(2? ?1? 4)? 求线段AB的垂直平分面的方程? ?
解 由题意知道? 所求的平面就是与A和B等距离的点的几何轨迹? 设M(x? y? z)为所求平面上的任一点? 则有
|AM|?|BM|?
即
(x?1)2?(y?2)2?(z?3)2?(x?2)2?(y?1)2?(z?4)2? ?
等式两边平方? 然后化简得
2x?6y?2z?7?0? ?
这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程? 而不在此平面上的点的坐标都不满足这个方程? 所以这个方程就是所求平面的方程? ? 研究曲面的两个基本问题????
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时? 建立这曲面的方程? ?
(2) 已知坐标x、y和z间的一个方程时? 研究这方程所表示的曲面的形状? ?
一般地? 设有三元二次方程
Ax2?Ay2?Az2?Dx?Ey?Fz?G?0?
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这个方程的特点是缺xy ? yz ? zx 各项? 而且平方项系数相同? 只要将方程经过配方就可以化成方程
(x?x0)2?(y?y0)2?(z?z0)2?R2? ?
的形式? 它的图形就是一个球面? ? 二、旋转曲面
以一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面? 这条定直线叫做旋转曲面的轴? ?
设在yO z 坐标面上有一已知曲线C? 它的方程为
f (y? z) ?0?
把这曲线绕z轴旋转一周? 就得到一个以z轴为轴的旋转曲面? 它的方程可以求得如下????
设M(x? y? z)为曲面上任一点? 它是曲线C上点M1(0? y1? z1)绕z轴旋转而得到的? 因此有如下关系等式
f(y1, z1)?0? z?z1? |y1|?x2?y2?
从而得 f(?x2?y2, z)?0? 这就是所求旋转曲面的方程? ?
在曲线C的方程f(y? z)?0中将y改成?x2?y2? 便得曲线C绕z 轴旋转所成的旋转曲面的方程f(?x2?y2, z)?0? ?
同理? 曲线C绕y 轴旋转所成的旋转曲面的方程为
f(y, ?x2?z2)?0? ?
例4 直线L绕另一条与L相交的直线旋转一周? 所得旋转曲面叫做圆锥面? 两直线的交点叫做圆锥面的顶点? 两直线的夹角? (0??? ?)叫做圆锥面的半顶角? 试建立顶点在坐标原点O?
2旋转轴为z轴? 半顶角为?的圆锥面的方程? ? 解 在yO z 坐标面内? 直线L的方程为
z?ycot ? ?
将方程z?ycot? 中的y改成?x2?y2? 就得到所要求的圆锥面的方程
z??x2?y2co?t?
或
z2?a2 (x2?y2)? 其中a?cot ? ? ?
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22xz 例5? 将zOx坐标面上的双曲线2?2?1分别绕x轴和z轴旋转一周? 求所生成的旋转曲面ac的方程? ?
解 绕x轴旋转所在的旋转曲面的方程为
x2?y2?z2?1? a2c2绕z轴旋转所在的旋转曲面的方程为
x2?y2z2?2?1? ? a2c这两种曲面分别叫做双叶旋转双曲面和单叶旋转双曲面? ?
三、柱面
例6 方程x2?y2?R2表示怎样的曲面？
柱面??平行于定直线并沿定曲线C移动的直线L形成的轨迹叫做柱面? 定曲线C叫做柱面的准线? 动直线L叫做柱面的母线? ?
上面我们看到? 不含z的方程x2?y2?R2在空间直角坐标系中表示圆柱面? 它的母线平行于z轴? 它的准线是xOy 面上的圆x2?y2?R2? ? 一般地? 只含x、y而缺z的方程F(x? y)?0? 在空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱面? 其准线是xOy 面上的曲线C?? F(x? y)?0? ?
例如? 方程y2?2x表示母线平行于z轴的柱面? 它的准线是xOy 面上的抛物线y2??2x? 该柱面叫做抛物柱面? ?
类似地? 只含x、z而缺y的方程G(x? z)?0和只含y、z而缺x的方程H(y? z)?0分别表示母线平行于y轴和x轴的柱面? ?
例如? 方程 x?z?0表示母线平行于y轴的柱面? 其准线是zOx 面上的直线 x?z?0? ?所以它是过y轴的平面? ?
四、二次曲面
设S是一个曲面? 其方程为F(x? y? z)?0? S ?是将曲面S沿x轴方向伸缩?倍所得的曲面?
1 显然? 若(x? y? z)?S? 则(?x? y? z)?S?? 若(x? y? z)?S?? 则(x, y, z)?S?
?11 因此? 对于任意的(x? y? z)?S?? 有F(x, y, z)?0? 即F(x, y, z)?0是曲面S?的方程?
?? 例如，把圆锥面x2?y2?a2z2沿y轴方向伸缩
2b倍? 所得曲面的方程为 a2y22ax222x?(y)?az? 即2?2?z?
bab(1)椭圆锥面
2y2 由方程x2?2?z2所表示的曲面称为椭圆锥面?
ab
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