高等数学教案 空间解析几乎与向量代数

(2)椭球面

2y2z2x 由方程2?2?2?1所表示的曲面称为椭球面? abc(3)单叶双曲面

2y22 由方程x2?2?z2?1所表示的曲面称为单叶双曲面?

abc(4)双叶双曲面

2y2z2x 由方程2?2?2?1所表示的曲面称为双叶双曲面? abc(5)椭圆抛物面

2y2x 由方程2?2?z所表示的曲面称为椭圆抛物面? ab(6)双曲抛物面?

2y2x 由方程2?2?z所表示的曲面称为双曲抛物面? ab 还有三种二次曲面是以三种二次曲线为准线的柱面? 22y2y2 x2?2?1? x2?2?1? x2?ay?

abab依次称为椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面?

小结

1. 曲面方程以及旋转曲面的概念； 2.柱面和二次曲面的概念； 3. 曲面的一些实例。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意要结合实例讲解各种曲面的概念以及方程，区别同一方程在平面几何和空间几何中所表示的图形。

师生活动设计

课后习题：3，10

讲课提纲、板书设计 作业 P31: 5,7

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§8? 4 空间曲线及其方程

一、空间曲线的一般方程

空间曲线可以看作两个曲面的交线? 设

F(x? y? z)?0和G(x? y? z)?0

是两个曲面方程? 它们的交线为C? 因为曲线C上的任何点的坐标应同时满足这两个方程? 所以应满足方程组

?F(x,y,z)?0?G(x,y,z)?0? ? 反过来? 如果点M不在曲线C上? 那么它不可能同时在两个曲面上? 所以它的坐标不满足方程组? ?

因此? 曲线C可以用上述方程组来表示? 上述方程组叫做空间曲线C的一般方程? ?x2?y2?1 例1?方程组?表示怎样的曲线??

?2x?3z?6 解?方程组中第一个方程表示母线平行于z轴的圆柱面? 其准线是xOy 面上的圆? 圆心在原

点O? 半行为1? 方程组中第二个方程表示一个母线平行于y轴的柱面? 由于它的准线是zOx 面上的直线? 因此它是一个平面? 方程组就表示上述平面与圆柱面的交线? ?z?a2?x2?y2? 例2 方程组?a)2?y2?(a)2表示怎样的曲线?? (x??22?解?方程组中第一个方程表示球心在坐标原点O? 半行为a的上半球面? 第二个方程表示母线平行于z轴的圆柱面? 它的准线是xOy 面上的圆? 这圆的圆心在点(a, 0)? 半行为a? 方程组就

22表示上述半球面与圆柱面的交线?

二、空间曲线的参数方程

空间曲线C的方程除了一般方程之外? 也可以用参数形式表示? 只要将C上动点的坐标x、y、z表示为参数t的函数?????x?x(t)? ?y?y(t)?

??z?z(t)当给定t?t1时? 就得到C上的一个点(x1? y1? z1)? 随着t的变动便得曲线C上的全部点? 方程组(2)

叫做空间曲线的参数方程?

例3?如果空间一点M 在圆柱面x2?y2?a2 上以角速度?绕z轴旋转? 同时又以线速度v 沿平行于z轴的正方向上升(其中?、v都是常数)? 那么点M构成的图形叫做螺旋线? 试建立其参数方程?

解?取时间t为参数? 设当t?0时? 动点位于x轴上的一点A(a, 0? 0)处? 经过时间t? 动点由A运动到M(x? y? z)(图7-44)? 记M在xOy 面上的投影为M?? M?的坐标为x? y,0? 由于动点在圆柱面

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上以角速度??绕 z 轴旋转? 所以经过时间t,∠AOM???? t? 从而

x?|OM?|cos∠AOM??acos?? t?? y?|OM?|sin∠AOM??asin?? t, 由于动点同时以线速度v 沿平行于 z 轴的正方向上升? 所以 z?MM??vt . 因此螺旋线的参数方程为

?x?acos?t? ?y?asin?t?

??z?vt 也可以用其他变量作参数? 例如令??? t? 则螺旋线的参数方程可写为 ?x?acos?? ?y?asin??

??z?b?其中b?v? 而参数为???

? 三、空间曲线在坐标面上的投影

以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做曲线C关于xOy面的投影柱面? 投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C在xOy 面上的投影曲线? 或简称投影(类似地可以定义曲线C在其它坐标面上的投影)?

?F(x,y,z)?0 设空间曲线C的一般方程为??

?G(x,y,z)?0 设方程组消去变量z后所得的方程

H(x? y)?0 ? 这就是曲线C关于xOy面的投影柱面?

这是因为???一方面方程H(x? y)?0表示一个母线平行于z轴的柱面? 另一方面方程H(x? y)?0是由方程组消去变量z后所得的方程? 因此当x、y、z满足方程组时? 前两个数x、y必定满足方程H(x? y)?0 ? 这就说明曲线C上的所有点都在方程H(x? y)?0所表示的曲面上? 即曲线C在方程H(x? y)?0表示的柱面上? 所以方程H(x? y)?0表示的柱面就是曲线C关于xOy面的投影柱面? 曲线C在xOy 面上的投影曲线的方程为???

?H(x,y)?0? ?z?0? 讨论???曲线C关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么? 曲线C在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么??

例4?已知两球面的方程为 x2?y2?z2?1? 和x2?(y?1)2?(z?1)2?1? 求它们的交线C在xOy面上的投影方程? 解?先将方程x2?(y?1)2?(z?1)2?1化为 x2?y2?z2?2y?2z?1?

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然后与方程x2?y2?z2?1相减得 y?z?1? 将 z?1?y代入x2?y2?z2?1 得

x2?2y2?2y?0?

这就是交线C关于xOy面的投影柱面方程? 两球面的交线C在xOy面上的投影方程为 ?x2?2y2?2y?0 ??

?z?0 例5?求由上半球面z?4?x2?y2和锥面z?3(x2?y2)所围成立体在xOy面上的投影? 解?由方程z?4?x2?y2和z?3(x2?y2)消去z 得到x2?y2?1? 这是一个母线平行于z轴的圆柱面? 容易看出? 这恰好是半球面与锥面的交线C关于xOy面的投影柱面? 因此交线C在xOy面上的投影曲线为

?x2?y2?1 ??

z?0?这是xOy面上的一个圆? 于是所求立体在xOy面上的投影? 就是该圆在xOy面上所围的部分:

x2?y2?1?

? 小结

1. 空间曲线及其方程的概念；

2.空间曲线的一般方程和参数方程； 3. 空间曲线在坐标面上的投影。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意空间曲线及其方程的概念，着重注意空间曲线在坐标面上的投影的求法和理解，要结合实例，反复讲解。

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课后习题1，2，7

讲课提纲、板书设计 作业 P37: 3，4

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