高等数学教案 空间解析几乎与向量代数

设b // a? 取|?|?|b|? 当b与a同向时?取正值? 当b与a反向时?取负值? 即b??a? 这是因为|a|此时b与?a同向? 且

|b| |?a|?|?||a|?|a|?|b|?

|a| 再证明数?的唯一性? 设b??a? 又设b??a? 两式相减? 便得 (???)a?0? 即|???||a|?0? 因|a|?0? 故|???|?0? 即???? 三、空间直角坐标系

在空间取定一点O和三个两两垂直的单位向量i、j、k? 就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴? 依次记为x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)? 统称为坐标轴? 它们构成一个空间直角坐标系? 称为Oxyz坐标系?

注:

(1)通常三个数轴应具有相同的长度单位?

(2)通常把x 轴和y轴配置在水平面上? 而z轴则是铅垂线? (3)数轴的的正向通常符合右手规则?? 坐标面?

在空间直角坐标系中? 任意两个坐标轴可以确定一个平面? 这种平面称为坐标面? x轴及y轴所确定的坐标面叫做xOy面? 另两个坐标面是yOz面和zOx面?

卦限?

三个坐标面把空间分成八个部分? 每一部分叫做卦限? 含有三个正半轴的卦限叫做第一卦限? 它位于xOy面的上方? 在xOy面的上方? 按逆时针方向排列着第二卦限、第三卦限和第四卦限? 在xOy面的下方? 与第一卦限对应的是第五卦限? 按逆时针方向还排列着第六卦限、第七卦限和第八卦限? 八个卦限分别用字母I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示? 向量的坐标分解式?

任给向量r? 对应有点M? 使OM?r? 以OM为对角线、三条坐标轴为棱作长方体? 有 r?OM?OP?PN?NM?OP?OQ?OR? 设 OP?xi? OQ?yj? OR?zk? 则 r?OM?xi?yj?zk?

上式称为向量r的坐标分解式? xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量?

显然? 给定向量r? 就确定了点M及OP?xi? OQ?yj? OR?zk三个分向量? 进而确定了x、y、z三个有序数? 反之? 给定三个有序数x、y、z也就确定了向量r与点M? 于是点M、向量r与三

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个有序x、y、z之间有一一对应的关系 M?r?OM?xi?yj?zk?(x, y, z)?

据此? 定义? 有序数x、y、z称为向量r(在坐标系Oxyz)中的坐标? 记作r?(x? y? z)? 有序数x、y、z也称为点M(在坐标系Oxyz)的坐标? 记为M(x? y? z)?

向量r?OM称为点M关于原点O的向径? 上述定义表明? 一个点与该点的向径有相同的坐标? 记号(x? y? z)既表示点M? 又表示向量OM.

坐标面上和坐标轴上的点? 其坐标各有一定的特征? 例如? 点M在yOz面上? 则x?0? 同相? 在zOx面上的点? y?0? 在xOy面上的点? z?0? 如果点M在x轴上? 则y?z?0? 同样在y轴上,有z?x?0? 在z轴上 的点? 有x?y?0? 如果点M为原点? 则x?y?z?0.

四、利用坐标作向量的线性运算 设a?(ax? ay? az)? b?(bx? by? bz) 即 a?axi?ayj?azk? b?bxi?byj?bzk ? ?则 a?b?(axi?ayj?azk)?(bxi?byj?bzk) ?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?(ax?bx? ay?by? az?bz)?

a?b?(axi?ayj?azk)?(bxi?byj?bzk) ?(ax?bx)i?(ay?by)j?(az?bz)k ?(ax?bx? ay?by? az?bz)? ?a??(axi?ayj?azk) ?(?ax)i?(?ay)j?(?az)k ?(?ax? ?ay? ?az)?

利用向量的坐标判断两个向量的平行? 设a?(ax? ay? az)?0? b?(bx? by? bz)? 向量b//a?b??a ? 即b//a?(bx? by? bz)??(ax? ay? az)? 于是

bxbybz??? ?axayaz????5x?3y?a 例2： 求解以向量为未知元的线性方程组??

?3x?2y?b其中a?(2? 1? 2)? b?(?1? 1? ?2).

解 如同解二元一次线性方程组? 可得 x?2a?3b? y?3a?5b ? 以a、b的坐标表示式代入? 即得

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x?2(2? 1? 2)?3(?1? 1? ?2)?(7? ?1? 10)? y?3(2? 1? 2)?5(?1? 1? ?2)?(11? ?2? 16)?

例3 :已知两点A(x1? y1? z1)和B(x2? y2? z2)以及实数???1? 在直线AB上求一点M? 使AM??MB? 解 由于AM?OM?OA? MB?OB?OM? 因此 OM?OA??(OB?OM)?

??1(OA??OB) 从而 OM?1??????????????? ? ?( x1??x2x1??x2x1??x2, , )? 1??1??1??这就是点M的坐标?

五、向量的模、方向角、投影

1．向量的模与两点间的距离公式 设向量r?(x? y? z)? 作OM?r? 则 r?OM?OP?OQ?OR? 按勾股定理可得

|r|?|OM|?|OP|2?|OQ|2?|OR|2?

设 OP?xi? OQ?yj? OR?zk? 有 |OP|?|x|? |OQ|?|y|? |OR|?|z|?

于是得向量模的坐标表示式 |r|?x2?y2?z2?

设有点A (x1? y1? z1)、B(x2? y2? z2)? 则

AB?OB?OA?(x2? y2? z2)?(x1? y1? z1)?(x2?x1? y2?y1? z2?z1)?

于是点A与点B间的距离为

????????????|AB|?|AB|?(x2?x1)2?(y2?y1)2?(z2?z1)2??

例4: 求证以M1(4? 3? 1)、M2 (7? 1? 2)、M3 (5? 2? 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形? 解 因为 | M1M2|2 ?(7?4)2?(1?3)2?(2?1)2 ?14? | M2M3|2 ?(5?7)2?(2?1)2?(3?2)2 ?6? | M1M3|2 ?(5?4)2?(2?3)2?(3?1)2 ?6?

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所以|M2 M3|?|M1M3|? 即? M1 M2 M3为等腰三角形?

例5: 在z轴上求与两点A(?4? 1? 7)和B(3? 5? ?2)等距离的点? 解 设所求的点为M(0? 0? z)? 依题意有|MA|2?|MB|2?

即 (0?4)2?(0?1)2?(z?7)2?(3?0)2?(5?0)2?(?2?z)2? 解之得z?14? 所以? 所求的点为M(0, 0, 14)?

99 例6: 已知两点A(4? 0? 5)和B(7? 1? 3)? 求与AB方向相同的单位向量e? 解 因为AB?(7, 1, 3)?(4, 0, 5)?(3, 1, ?2)? |AB|?32?12?(?2)2?14? 所以 e?AB?1(3, 1, ?2)?

?14|AB| 2．方向角与方向余弦

当把两个非零向量a与b的起点放到同一点时? 两个向量之间的不超过?的夹角称为向量a与b的夹角? 记作(a, b)或(b, a)? 如果向量a与b中有一个是零向量? 规定它们的夹角可以在0与?之间任意取值。 类似地? 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角? 非零向量r与三条坐标轴的夹角?、?、?称为向量r的方向角? 向量的方向余弦? 设r?(x? y? z)? 则

x?|r|cos?? y?|r|cos?? z?|r|cos? ? cos?、cos?、cos? 称为向量r的方向余弦?

^^????y cos??x? cos??? cos??z?

|r||r||r|从而 (cos?, cos?, cos?)?1r?er?

|r|上式表明? 以向量r的方向余弦为坐标的向量就是与r同方向的单位向量e r ? 因此

cos2??cos2??cos2??1?

例7: 设已知两点A (2, 2, 2))和B (1, 3, 0)? 计算向量AB的模、方向余弦和方向角? 解 AB?(1?2, 3?2, 0?2)?(?1, 1, ?2)?

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