高等数学教案 空间解析几乎与向量代数

§8? 5 平面及其方程

一、平面的点法式方程

法线向量? 如果一非零向量垂直于一平面? 这向量就叫做该平面的法线向量? 容易知道? 平

面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直?

唯一确定平面的条件??当平面?上一点M0?(x0? y0? z0)和它的一个法线向量n?(A? B? C)为已知时? 平面?的位置就完全确定了?

平面方程的建立??设M?(x? y? z)是平面?上的任一点? 那么向量M0M必与平面?的法线向量n垂直? 即它们的数量积等于零??

n?M0M?0?

由于

n ?(A? B? C)? M0M?(x?x0, y?y0, z?z0)? 所以

A(x?x0)?B(y?y0)?C(z?z0)?0?

这就是平面?上任一点M的坐标x? y? z所满足的方程?

反过来? 如果M (x? y? z)不在平面?上? 那么向量M0M与法线向量n不垂直? 从而 n?M0M?0? ? 即不在平面?上的点M的坐标x? y? z不满足此方程?

????? 由此可知? 方程A(x?x0)?B(y?y0)?C(z??z0)?0就是平面?的方程? 而平面?就是平面方程的图形? 由于方程A(x?x0)?B(y?y0)?C(z??z0)?0是由平面?上的一点M0(x0? y0? z0)及它的一个法线向量n ?(A? B? C)确定的? 所以此方程叫做平面的点法式方程?

例1 求过点(2? ?3? 0)且以n?(1? ?2? 3)为法线向量的平面的方程? 解 根据平面的点法式方程? 得所求平面的方程为

(x?2)?2(y?3)?3z?0? 即 x?2y?3z?8?0?

例2 求过三点M1(2? ?1? 4)、M2(?1? 3? ?2)和M3(0? 2? 3)的平面的方程? 解 我们可以用M1M2?M1M3作为平面的法线向量n? 因为M1M2?(?3, 4, ?6)? M1M3?(?2, 3, ?1)? ?所以

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ijk n?M1M2?M1M3??34?6?14i?9j?k?

?23?1??根据平面的点法式方程? 得所求平面的方程为 14(x?2)?9(y?1)?(z ?4)?0? 即 14x?9y? z?15?0? 二、平面的一般方程

方程Ax?By?Cz?D?0称为平面的一般方程? 其中x? y? z的系数就是该平面的一个法线向量n的坐标?

即 n?(A? B? C)?

讨论??考察下列特殊的平面方程，指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系? 平面通过的特殊点或线?

当D?0? 平面过原点? ?

当n?(0? B? C)? 法线向量垂直于x轴? 平面平行于x轴? 当n?(A? 0? C)? 法线向量垂直于y轴? 平面平行于y轴??当n?(A? B? 0)? 法线向量垂直于z轴? 平面平行于z轴??

当n?(0? 0? C)? 法线向量垂直于x轴和y轴? 平面平行于xOy平面??当n?(A? 0? 0)? 法线向量垂直于y轴和z轴? 平面平行于yOz平面??当n?(0? B? 0)? 法线向量垂直于x轴和z轴? 平面平行于zOx平面?? 例3 求通过x轴和点(4? ?3? ?1)的平面的方程?

解 平面通过x轴? 一方面表明它的法线向量垂直于x轴? ??即A?0? 另一方面表明?它必通过原点? 即D?0? 因此可设这平面的方程为 By?Cz?0? 又因为这平面通过点(4? ?3? ?1)? 所以 ?????????????????????????????????????????????3B?C?0? 或 C??3B ?

将其代入所设方程并除以B (B?0)? 便得所求的平面方程为

y?3z?0?

例4 设一平面与x、y、z轴的交点依次为P(a? 0? 0)、Q(0? b? 0)、R(0? 0? c)三点? 求这平面的方程(其中a?0? b?0? c?0)? 解 设所求平面的方程为 Ax?By?Cz?D?0? 因为点P(a? 0? 0)、Q(0? b? 0)、R(0? 0? c)都在这平面上? 所以点P、Q、R的坐标都满足所设方程? 即有

?aA?D?0,? ?bB?D?0,

??cC?D?0,三峡大学高等数学课程建设组

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由此得 A??D? B??D? C??D? 将其代入所设方程? 得

cab ?Dx?Dy?Dz?D?0?

abcy即 x??z?1?

abc 上述方程叫做平面的截距式方程? 而a、b、c依次叫做平面在x、y、z轴上的截距? 三、两平面的夹角

两平面的夹角??两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角? ?

设平面?1和?2的法线向量分别为n1?(A1? B1? C1)和n2?(A2? B2? C2)? 那么平面?1和?2的夹角?

^^^^应是(n1, n2)和(?n1, n2)???(n1, n2)两者中的锐角? 因此? cos??|cos(n1, n2)|? 按两向量夹角余弦

的坐标表示式? 平面?1和?2的夹角? 可由 cos??|cos(n1^, n2)|?|A1A2?B1B2?C1C2|222A12?B12?C12?A2?B2?C2?

来确定?

从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论?? 平面?1和?2垂直相当于A1 A2 ?B1B2 ?C1C2?0? 平面? 1和? 2平行或重合相当于

AC1B?1?1? A2B2C2 例5 求两平面 x?y?2z?6?0和2x?y?z?5?0的夹角? 解 n1?(A1? B1? C1)?(1? ?1? 2)? ?n2?(A2? B2? C2)?(2? 1? 1)? cos??|A1A2?B1B2?C1C2||1?2?(?1)?1?2?1|??1?

222A12?B12?C12?A2?B2?C212?(?1)2?22?22?12?122所以? 所求夹角为????

3 例6 一平面通过两点M1(1? 1? 1)和M2(0? 1? ?1)且垂直于平面x?y?z?0? 求它的方程? ?

解 方法一???已知从点M1到点M2的向量为n1?(?1? 0? ?2)? 平面x?y?z?0的法线向量为n2??(1? 1? 1)? ?

设所求平面的法线向量为n?(A? B? C)?

因为点M1(1? 1? 1)和M2(0? 1? ?1)在所求平面上? 所以n?n1? 即?A?2C?0? A??2C? 又因为所求平面垂直于平面x?y?z?0? 所以n?n1? 即A?B?C?0? B?C? 于是由点法式方程? 所求平面为

?2C(x?1)?C(y?1)?C(z?1)?0? 即2x?y?z?0?

方法二? 从点M1到点M2的向量为n1?(?1? 0? ?2)? 平面x?y?z?0的法线向量为n2??(1? 1? 1)? 设所求平面的法线向量n?可取为n1? n2? ??

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因为?

ijk n?n1?n2??10?2 ?2i?j?k?

111 所以所求平面方程为：2(x?1)?(y?1)?(z?1)?0?

即 2x?y?z?0?

例7 设P0(x0? y0? z0)是平面Ax?By?Cz?D?0外一点? 求P0到这平面的距离?

解 设en是平面上的单位法线向量? 在平面上任取一点P1(x1? y1? z1)? 则P0到这平面的距离为 d?|P1P0?en|??|A(x0?x1)?B(y0?y1)?C(z0?z1)|A?B?C222

?|Ax0?By0?Cz0?(Ax1?By1?Cz1)|A2?B2?C2?|Ax0?By0?Cz0?D|A2?B2?C2?

?1(A, B, C)? ??P提示? en?1P0?(x0?x1, y0?y1, z0?z1)? 222A?B?C 例8 求点(2? 1? 1)到平面 x?y?z?1?0的距离? 解 d?

|Ax0?By0?Cz0?D|A2?B2?C2?|1?2?1?1?(?1)?1?1|?3?3? 312?12?(?1)2

小结

1.平面点法式方程和一般方程； 2.两平面之间的夹角公式； 3. 两平面之间的关系。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意两平面之间的夹角公式，两平面之间的关系及等价条件是本节的重点，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.求过点(1,1,1)且垂直于二平面x?y?z?7和3x?2y?12z?5?0的平面方程。 2.P43：8

讲课提纲、板书设计 作业 P42: 2，6，7，9

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