北师大版2018年高中数学选修2-2同步优化指导练习含答案
即x＋y≤2，与已知x＋y＞2矛盾， 故假设错误，原命题正确． ∴
1＋x1＋y
，中至少有一个小于2. yx
11．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab能被5整除，那么a，b至少有一个能被5整除”，则假设的内容是( )
A．a，b都能被5整除 B．a，b都不能被5整除 C．a不能被5整除
D．a，b有一个不能被5整除
解析：至少有一个的反面是一个也没有，故选B． 答案：B
12．若下列方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0，至少有一个方程有实根，则实数a的取值范围为___________．
解析：假设三个方程均无实根，则有 Δ1＝16a－4?－4a＋3?＜0，??
?Δ2＝?a－1?2－4a2＜0，??Δ3＝4a2－4?－2a?＜0，
2
??
1解得?a＜－1或a＞，3
??－2＜a＜0，
31－＜a＜，22
3
即－＜a＜－1.
2
3
所以当a≥－1或a≤－时，三个方程至少有一个方程有实根．
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答案：a≥－1或a≤－ 2
13．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，若关于x的不等式f(x－1)≥0的解集为[0,1]，则关于x的不等式f(x＋1)≤0的解集为___________．
解析：将函数y＝f(x－1)的图像向左平移2个单位得到函数y＝f(x＋1)的图像，不等式f(x－1)≥0的解集为[0,1]，所以y＝f(x－1)的图像是开口向下的抛物线，与x轴的交点为(0,0)，(1,0)，所以不等式f(x＋1)≤0的解集为(－∞，－2]∪[－1，＋∞)．
答案：(－∞，－2]∪[－1，＋∞)
14．已知集合{a，b，c}＝{0,1,2}，且下列三个关系：①a≠2；②b＝2；③c≠0有且只有一个正确，则100a＋10b＋c等于____________．
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解析：(1)若①正确，则②③不正确，由③不正确得c＝0，由①正确得a＝1，所以b＝2，与②不正确矛盾，故①不正确．(2)若②正确，则①③不正确，由①不正确得a＝2，与②正确矛盾，故②不正确．(3)若③正确，则①②不正确，由①不正确得a＝2，由②不正确及③正确得b＝0，c＝1，此时100a＋10b＋c＝100×2＋10×0＋1＝201.
答案：201
15．设二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数． 求证：f(x)＝0无整数根．
证明：假设f(x)＝0有一个整数根k， 则ak2＋bk＝－c.①
又∵f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c均为奇数． ∴a＋b为偶数．
当k为偶数时，显然与①式矛盾；
当k为奇数时，设k＝2n＋1(n∈Z)，则ak2＋bk＝(2n＋1)(2na＋a＋b)为偶数，也与①式矛盾，故假设不成立．
所以方程f(x)＝0无整数根．
16．已知函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，且当x0≥1，f(x0)≥1时，有f(f(x0))＝x0，求证：f(x0)＝x0.
证明：假设f(x0)≠x0， 则必有f(x0)＞x0或f(x0)＜x0.
若f(x0)＞x0≥1，由f(x)在[1，＋∞)上为增函数，得f(f(x0))＞f(x0)． 又f(f(x0))＝x0，∴f(x0)＜x0，与假设矛盾． 若x0＞f(x0)≥1，同理，得f(x0)＞f (f(x0))． 又f(f(x0))＝x0，∴x0＜f(x0)，也与假设矛盾．
综上所述，当x0≥1，f(x0)≥1，且f(f(x0))＝x0时，f(x0)＝x0.
第一章 §4
1．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是( ) A．假设当n＝2k＋1时正确，再推当n＝2k＋3时正确
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B．假设当n＝2k－1时正确，再推当n＝2k＋1时正确 C．假设当n＝k时正确，再推当n＝k＋1时正确
D．假设当n≤k(k≥1)时正确，再推当n＝k＋2时正确(以上k∈N＋)
解析：因为n为正奇数，所以用数学归纳法证明的第二步应先假设第k个正奇数成立，即假设当n＝－1时正确，再推第(k＋1)个正奇数即当n＝2k＋1时正确．
答案：B
2．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋1
6n－1(n∈N＋)，则f(1)为( )
A．1 B．1
5
C．1＋1111
2＋3＋4＋5
D．非以上答案
解析：∵f(n)＝1＋111
2＋3＋…6n－1
，
∴f(1)＝1＋1111111
2＋3＋…＋6×1－1＝1＋2＋3＋4＋5.
答案：C
3．用数学归纳法证明不等式1＋12＋14＋…＋1127
2n－1＞64(n∈N＋)成立，其初始值至少应取(A．7 B．8 C．9
D．10 1－1解析：左边＝1＋12＋14＋…＋12n1
2n－1＝＝2－n－1，代入验证可知n的最小值是8.
1－12
2答案：B
4．用数学归纳法证明
1＋2＋22＋…＋2n－
1＝2n－1(n∈N＋)的过程如下：
①当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，等式成立． ②假设当n＝k时，等式成立，即 1＋2＋22＋…＋2k－
1＝2k－1，
则当n＝k＋1时， k＋
1
1＋2＋22＋…＋2
k－1
＋2k＝1－2＋1－2
＝2k1－1，
所以，当n＝k＋1时等式成立．
由此可知，对任何n∈N＋，等式都成立． 上述证明错误的是________． 解析：当n＝k＋1时正确的解法是
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)
2k
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1＋2＋22＋…＋2k1＋2k＝2k－1＋2k＝2k1－1，
－
＋
即一定用上第二步中的假设． 答案：没有用上归纳假设进行递推 5．用数学归纳法证明：
?1－1??1－1??1－1?…?1－12?＝n＋1(n≥2，n∈N＋)． ?4??9??16??n?2n
2＋1313
证明：(1)当n＝2时，左边＝1－＝，右边＝＝，∴左边＝右边．∴n＝2时等式成立．
442×24(2)假设n＝k(k≥2，k∈N＋)时等式成立， 111k＋1
1－??1－?…?1－2?＝即??4??9??k?2k， 那么n＝k＋1时，利用归纳假设有：
?1－1??1－1?…?1－12??1－12? ?4??9??k???k＋1??
＝＝
1?k＋1k?k＋2?k＋1?1－2＝· 2k??k＋1??2k?k＋1?2k＋2?k＋1?＋1
＝，
2?k＋1?2?k＋1?
∴即n＝k＋1时等式也成立．
由(1)和(2)，可知对任意n≥2，n∈N＋等式恒成立．
活页作业(四) 数学归纳法
1．用数学归纳法证明“2n＞n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )
A．2 C．5
B．3 D．6
解析：当n取1,2,3,4时2n＞n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32＞52＋1＝26，第一个能使2n＞n2＋1的n值为5.
答案：C
111
2．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋n＜n(n∈N＋，n＞1)时，第一步应验证不等式( )
232－11
A．1＋＜2
2
11
B．1＋＋＜2
23
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