错解：摆球运动到最高点时，最小速度为V?能守恒。据机械能守恒定律得：

gL，由于摆在运动过程中，只有重力做功，故机械

11mV02?2mgL?mV2 22解得：V0?5gL。

q2分析纠错：摆球运动到最高点时，受到重力mg、库仑力F?K2、绳的拉力T作用，根据向心力公

Lq2V2式可得：T?mg?K2?m，由于T?0,所以有：

LLq2 V?gL?KmL由于摆在运动过程中，只有重力做功，故机械能守恒。据机械能守恒定律得：

11mV02?2mgL?mV2 22解得：V0?5gL?Kq2/mL。

模拟测试

1.有质量相等的两个人造地球卫星A和B，分别在不同的轨道上绕地球做匀速圆周运动.两卫星的轨道

半径分别为rA和rB，且rA＞rB.则A和B两卫星相比较，以下说法正确的是

A.卫星A的运行周期较大 B.卫星A受到的地球引力较大 C.卫星A的动能较大 D.卫星A的机械能较大

2.设想人类开发月球，不断把月球上的矿藏搬运到地球上，假定经过长时间开采后，地球仍可看做是均匀的球体，月球仍沿开采前的圆周轨道运动.则与开采前相比

A.地球与月球的万有引力将变大 B.地球与月球的万有引力将变小 C.月球绕地球运动的周期将变长 D.月球绕地球运动的周期将变短

3.如图所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运行的三颗人造卫星.下列说法中正确的是

A.b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度

B.b、c的向心加速度大小相等，且小于a的向心加速度 C.b、c运行周期相同，且小于a的运行周期

D.由于某种原因，a的轨道半径缓慢减小，a的线速度将变大

4.组成星球的物质是靠引力吸引在一起的，这样的星球有一个最大的自转速

率.如果超过了该速率，星球的万有引力将不足以维持其赤道附近的物体做圆周运动.由此能得到半径为R、密度为ρ、质量为M且均匀分布的星球的最小自转周期T.下列表达式中正确的是

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A.T=2πB.T=2πC.T=

R3/GM 3R3/GM

?/G?

D.T=3?/G?

5.两个行星各有一个卫星绕其表面运行，已知两个卫星的周期之比为1∶2，两行星半径之比为2∶1 ①两行星密度之比为4∶1 ②两行星质量之比为16∶1 ③两行星表面处重力加速度之比为8∶1④两卫星的速率之比为4∶1

A.①② B.①②③ C.②③④ D.①③④

6.某人造卫星绕地球做匀速圆周运动，设地球半径为R，地面重力加速度为g，下列说法错误的是

A.人造卫星的最小周期为2π

R/g

B.卫星在距地面高度R处的绕行速度为Rg/2

C.卫星在距地面高度为R处的重力加速度为g/4

D.地球同步卫星的速率比近地卫星速率小，所以发射同步卫星所需的能量较少

7.1998年8月20日，中国太原卫星发射中心为美国“铱”星公司成功发射了两颗“铱”星系统的补网星.1998年9月23日，“铱”卫星通讯系统正式投入商业运行，标志着一场通讯技术革命开始了.原计划的“铱”卫星通讯系统是在距地球表面780 km的太空轨道上建立一个由77颗小卫星组成的星座.这些小卫星均匀分布在覆盖全球的7条轨道上，每条轨道上有11颗卫星，由于这一方案的卫星排布像化学元素“铱”原子的核外77个电子围绕原子核运动一样，所以称为“铱”星系统.后来改为由66颗卫星，分布在6条轨道上，每条轨道上11颗卫星组成，仍称它为“铱”星系统.

“铱”星系统的66颗卫星，其运行轨道的共同特点是 A.以地轴为中心的圆形轨道 B.以地心为中心的圆形轨道 C.轨道平面必须处于赤道平面内

D.铱星运行轨道远低于同步卫星轨道

8.上题所述的“铱”星系统的卫星运行速度约为 A.7.9 km/s B.7.5 km/s C.3.07 km/s D.11.2 km/s 二、填空题

9.某一星球的第一宇宙速度为v,质量为m的宇航员在这个星球表面受到的重力为G，由此可知这个星球的半径是_______.

10.在月球表面，一位宇航员竖直向上抛出一个质量为m的小球.经过时间t,小球返回抛出点.已知月球表面的重力加速度是地球表面的1/6.由此可知，宇航员抛出小球时对小球做的功为_______.

11.在赤道上发射一颗人造地球卫星，设它的轨道是一个圆，轨道半径等于赤道半径，已知地球质量是M，地球自转周期是T，赤道半径是R，万有引力恒量是G，则这颗人造地球卫星的最小发射速度（相对地球的速度）为______________.

12.某物体在地球表面上受到的重力为160 N；将它放置在卫星中，在卫星以加速度a=g/2随火箭加速上升的过程中，当物体与卫星中的支持物的相互挤压力为90 N，卫星此时距地面的高度为_______.（已知地球的半径R=6.4×103 km，取g=10 m/s2）

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三、计算题

13.侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运动，它的运动轨道距地面高度为h,要使卫星在一天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄像机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少?设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g,地球自传的周期为T.

14.中子星是恒星演变到最后的一种存在形式.(1)有一密度均匀的星球，以角速度ω绕自身的几何对称轴旋转.若维持其表面物质不因快速旋转而被甩掉的力只有万有引力，那么该星球的密度至少要多大?(2)蟹状星云中有一颗中子星，它每秒转30周，以此数据估算这颗中子星的最小密度.(3)若此中子星的质量约为太阳的质量(2×1030 kg），试问它的最大可能半径是多大?

15.已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v2=

2GME，其中G、ME、RE分别是引力常量、RE地球的质量和半径.已知G=6.67×10-11 N·m2/kg2,c=2.9979×108 m/s.求下列问题：

(1)逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030 kg，求它的可能最大半径（这个半径叫Schwarzchild半径）.

（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27 kg/m3,如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c,因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？

一、1.AD 2.BD 3.BD

4.AD 如果万有引力不足以充当向心力，星球就会解体，据万有引力定律和牛顿第二定律得：

Mm4?2G2?m2R 得T=2πRT4R33?,又因为M=πρR3,所以T=.

3GMg?5.D 6.D

7.BD 卫星绕地球运转，都是卫星和地球之间的万有引力提供卫星绕地球运转的向心力，而万有引力方向指向地心.所以铱星系统的这些卫星的轨道应是以地心为中心的圆形轨道.铱星轨道距地球表面780 km，而地球同步卫星的轨道距地面约3.6×104 km.

8.B 可采用排除法.7.9 km/s是第一宇宙速度，是近地面卫星运行所必需的速度，A显然错，3.07 km/s是距地面高度为3.6×104 km的地球同步卫星运行速度，C也不正确.11.2 km/s是第二宇宙速度，是卫星挣脱地球引力束缚所必需的速度，D错.所以正确选项为B.

二、9.r=mv2/G

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10.W=

1mg2t2 28811.

GM2?R ?RT12.2.5×104 km

三、13.侦察卫星绕地球做匀速圆周运动的周期设为T1，则

GMm4?2r ?m2 2rT1 ①

地面处的重力加速度为g， 则

GMm0=m0g 2R ②

2?由上述两式得到卫星的周期T1=

R其中r=h+R

r3 g地球自转的周期为T，在卫星绕行一周时，地球自转转过的角度为θ=2π摄像机应拍摄赤道圆周的弧长为s=Rθ

T1 T4?2s=

T(h?R)3 gGMm43?223

14.(1)=mRω，M=ρπR，带入得：ρ= 23R4?G3?23?(60?)23143

(2)ρ==kg/m=1.27×10 kg/m

4?G4??6.67?10?11（3）M=ρ

4πR3，所以 33M33?2?1030R=3m ?144??4?3.14?1.27?10=1.56×105 m

15.（1）由题目所提供的信息可知，任何天体均存在其所对应的逃逸速度v2=

2GM,其中M、R为R天体的质量和半径.对于黑洞模型来说，其逃逸速度大于真空中的光速，即v2＞c,所以

2GM2?6.7?10?11?1.98?1030R＜m=2.94×103 m ?282c(2.9979?10)即质量为1.98×1030 kg的黑洞的最大半径为2.94×103 m. （2）把宇宙视为一普通天体，则其质量为

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