量为M，地球质量为m，则:GMm2?2?mr()
Tr2M43由密度公式??及球体体积公式V??R
V324?L3联立以上各式可得:??
GT2d36.已知物体从地球上的逃逸速度（第二宇宙速度）v?2GME，其中G、ME、RE分别是万有引力恒量、RE地球的质量和半径。已知万有引力恒量G＝6.67×10-11N·m/kg，光在真空中的速度c=2.9979×108m／s，求下列问题：（1）逃逸速度大于真空中光速的天体叫做黑洞，设某黑洞的质量等于太阳的质量M=1.98×1030kg，求它的可能最大半径（这个半径叫做Schwarzchild半径）？（2）在目前天文观测范围内，物质的平均密度为10-27kg／m3，如果认为我们的宇宙是这样一个均匀大球体，其密度使得它的逃逸速度大于光在真空中的速度c，因此任何物体都不能脱离宇宙，问宇宙的半径至少多大？
答案：2.93km、4.23×1010
7.两颗人造地球卫星，甲的质量是乙的质量的2倍，同样时间内，甲的转数是乙的转数的4倍，则甲受向心力是乙受向心力的 。
[解与析] 甲和乙均为地球人造卫星。所以它们的向心力均由地球对它们的吸引力来提供。由卫星运动规律可得出：
GM地M甲2?M??R甲甲甲2R甲?? ①
M地M乙2G?M?乙乙?R乙2R乙?? ②
又因为转数n∝ω,所以①÷②有：
223?甲n甲R乙?2?23n乙?? ③ R甲?乙又因为Fn=Mω2R，所以由题设条件和③式得出：
Fn甲M乙?乙R乙 Fn乙解本题需注意的是：不能把卫星的半径看成不变，殊不知,半径是和卫星旋转速度、周期相联系的。V和T一变，R必然要变，变化规律应满足万有引力提供的向心力。
8.设月球绕地球运动的周期为27天，则地球的同步卫星到地球中心的距离r与月球中心到地球中心的距离R之比r : R = 。
41
?2M甲?甲R甲23?2?161?83416
M地m卫4?2G?m卫?r2rT卫 [提示] 由万有引力定律和牛顿第二运动定律列出：??①
M地m月4?2G?m月?R2RT月 ??②
①②两式之比可得出1：9的结论。
专题三.典型错误举例
（1）错误地认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。
【例11】、某卫星沿椭圆轨道绕行星运行，近地点离行星中心的距离是a,远地点离行星中心的距离为b,若卫星在近地点的速率为Va,则卫星在远地点时的速率Vb多少？
VaMm错解：卫星运行所受的万有引力提供向心力，在近地点时，有G2?m，在远地点时有
aaVb2VMmabG2?m，上述两式相比得a?，故Vb?Va。
bbbVba分析纠错：以上错误在于认为做椭圆运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径不同。实际做椭圆
2Va2Mm运动的卫星在近地点和远地点的轨道曲率半径相同，设都等于R。所以，在近地点时有G2?m，
RaVb2VaMmb在远地点时有G2?m，上述两式相比得a?，故Vb?Va。
bRbVba（2）利用错误方法求卫星运动的加速度的大小。
【例12】、发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相
P 切于P点，如图9所示。则在卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，以下说法正确
3 的是：
2 A、卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率。
1 B、卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度。 C、卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2 Q 上经过Q点时的加速度。
D、卫星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3
图9
上经过P点时的加速度。
MmV2GM2错解：因为G2?mr??m，所以V=，
rrr??GM，即B选项正确，A选项错误。 3r 因为卫星在轨道1上经过Q点时的速度等于它在轨道2上经过Q点时的速度，而在Q点轨道的曲
V2V2率半径r1
r2r1 42
分析纠错：B选项正确，但C选项错误。根据牛顿第二定律可得a?FGM?2，即卫星的加速度amr只与卫星到地心的距离r有关，所以C选项错误，D选项正确。
（3）错误认为卫星克服阻力做功后，卫星轨道半径将变大。
【例13】一颗正在绕地球转动的人造卫星，由于受到阻力作用则将会出现：
A、速度变小； B、动能增大； C、角速度变小； D、半径变大。
错解：当卫星受到阻力作用时，由于卫星克服阻力做功，故动能减小，速度变小，为了继续环绕地球，由于卫星速度V?VGM可知，V减小则半径R必增大，又因??，故ω变小，可见应该选A、C、D。
rr分析纠错：当卫星受到阻力作用后，其总机械能要减小，卫星必定只能降至低轨道上飞行，故R减小。由V?GM可知，V要增大，动能、角速度也要增大。可见只有B选项正确。 r（4）混淆稳定运动和变轨运动
【例14】、如图10所示，a、b、c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星，下列说法正确的是：
A．b、c的线速度大小相等，且大于a的线速度；
a b B．b、c的向心加速度大小相等，且大于a的向心加速度；
C．c加速可追上同一轨道上的b，b减速可等候同一轨道上的c； 地球 D．a卫星由于某原因，轨道半径缓慢减小，其线速度将增大。 c 错解：c加速可追上b，错选C。
图10 分析纠错：因为b、c在同一轨道上运行，故其线速度大小、加速度大小均相等。又b、c轨道半径大于a的轨道半径，由V?GM/r知，Vb=Vc 2 可知ab=ac 2 当c加速时，c受到的万有引力F 2 有引力F>mv/r, 故它将偏离原轨道做向心运动。所以无论如何c也追不上b，b也等不到c，故C选项错。对这一选项，不能用V?GM/r来分析b、c轨道半径的变化情况。 对a卫星，当它的轨道半径缓慢减小时，在转动一段较短时间内，可近似认为它的轨道半径未变，视为稳定运行，由V?GM/r知，r减小时V逐渐增大，故D选项正确。 【例15】.如图11所示，质量为m的飞行器在绕地球的轨道上运行，半径为r1，要进入半径为r2的更高的圆轨道Ⅱ，必须先加速进入一个椭圆轨道Ⅲ，然后再进入圆轨道Ⅱ。已知飞行器在圆轨道Ⅱ上运动速度大小为v，在A点时通过发动机向后喷出一定质量气体使飞行器速度增加到v'进入椭圆轨道Ⅲ，设喷出的气体的速度为u，求： (1)飞行器在轨道Ⅰ上的速度v1及轨道Ⅰ处的重力加速度. (2)飞行器喷出气体的质量. 【分析与解答】：（1）轨道Ⅰ上，飞行器所受万有引力提供向心力，设地球质量为M，则有 43 v12Mm G?2?m? ① r1r1 解得 v1?GM ② r1GM ③ r2 同理在轨道Ⅱ上 v? 由②、③可得v1?r2?v ④ r1 在轨道Ⅰ上重力加速度为g?，则有 G?Mm?mg? ⑤ 2r1 由③、⑤可得 g??r22?v ⑥ 2r1 （2）设喷出气体质量为?m，由动量守恒得 ? mv1?(m??m)?v??m?u ⑦ v?? 解得：?m?r2?vr1v??u?m ⑧ （5）混淆连续物和卫星群 【例16】、根据观察，在土星外层有一个环，为了判断环是土星的连续物还是小卫星群。可测出环中各层的线速度V与该层到土星中心的距离R之间的关系。下列判断正确的是： A、若V与R成正比，则环为连续物； 2 B、若V与R成正比，则环为小卫星群； C、若V与R成反比，则环为连续物； 2 D、若V与R成反比，则环为小卫星群。 错解：选BD。 分析纠错：连续物是指和天体连在一起的物体，其角速度和天体相同，其线速度V与r成正比。而对卫星来讲，其线速度V?GM/r，即V与r的平方根成反比。由上面分析可知，连续物线速度V与r成正比；小卫星群V与R成反比。故选A、D。 （6）乱套公式V?2 gR解题。 【例17】、如图12所示，一摆长为L的摆，摆球质量为m，带电量为－q，如果在悬点A放一正电荷q，要使摆球能在竖直平面内做完整的圆周运动，则摆球在最低点的速度最小值应为多少？ 44 q L V0 图12