东北大学毕业设计（论文） 第2章 界面力学的基本理论

_???A1??B1?C1?A2??B2?C2_????B1??A1?D1?B2??A2?D2????? (2.25) ??(kA?B1?D1)?kA?B2??D222?11????????(kB?A1??C1)?k2B2?A2??C2?11_?i(??1)?1?i(??1)?1i(??1)?1A?e?Be?Ce?011?1_?i(??1)?2?i(??1)?2i(??1)?2A?e?Be?Ce?02?22????_ (2.26) ?B?ei(??1)?1?A1e?i(??1)?1?Dei(??1)?1?01?1???_??B?i(??1)?2?i(??1)?2i(??1)?1?A2e?D2e?0?2e为了同时求得待定系数间的关系，进而确定具体的应力场和位移场，我们采用以下方法化简式子(2.26)：

??e?2i?1?C1??????2i??1?D1??e??e2i?2?C2???????2i??2?D2??e式子(2.26)可以整理为：

e?2i??1??A1?? (2.27) 2i?1???e??B1?e2i??2??A2?? (2.28) ?2i?2??B?e??2???1??A1??C1???1??A2??C2??1???B???D???1???B???D? (2.29) ???1??1????2??2??C1????k2??A2??C2????k1??A1???????????????? (2.30) ???k1????B1??D1??k2????B2??D2?利用Dundur参数，为了简化其形式，采用变量替换：

?`?k2?1??(k1?1)???`?k2?1??(k1?1)? (2.31) ?`?k2?1??(k1?1)??由(2.31)式可得：

k2?1?(?`??`)/2?(k1?1)?(?`??`)/2 (2.32) 1???(?`??`)/2

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方程两边同除以γ`，则Dunders异材参数即为：???`/?`,???`/r`

利用它们之间的关系，可以将工程材料常数的影响改写为Dundurs参数表示的形式：

?1????A1????????1????A2??C1??0??????????? (2.33) ?????????????B1?0??B2??D1??1???1??1????A2??01????A1?????????1????A2??0???? (2.34) ?????1????B??1????????01??0????B2?????1????B2?将(2.27)，(2.28)代入式子(2.34)，得到：

?A1?1????B1?1???1????????e?2i??2????????1?e?2i?2???A????2? (2.35) ?????????1?e2??2?1????????e?2??2??B2???将(2.35)带入(2.33)，为了方便引入中间函数：

?????1?e2i? K(x)?sin2(?x)??2sin2x

得到：

????2????1?????2??????????????1???????????1?????????????2?????????????????????12????????1??????????????????2?1?????????1??????????1???????????21???A2???????0

???2??B2?????????????1????2??????1????????????2????????1???????????????????????12??????????1?????????????????2?1????????????1????????2???1???????1???(2.36)

式子(2.36)具有非零解的条件为：

?1???2K??1??2??1?cos?2??2???K??1??1????????22?4K(?1)K(?2)??????2?1?cos(2??1)?K(?2)?1???????? (2.37) ??1???K(?2)??1??2??K(?1)?K(?2)?K(?2??1)??0将其整理，得到：

A?2?2B???C?2?2D??2E??F?0 (2.38)

当给定结合材料及其界面端形状时，实际上是关于?的一个方程，该方程被称为界面端的特征方程。Bogy[31]利用Mellin变化也求得了这样的方程，但是Bogy所选取的材料1和材料2相反，且θ2的角度是一个正值，故应注意方程中D，E的符号正好相反。

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通常情况下，只考虑在0< Re?<1范围内的特征值，虽然有非零常应力场的存在，但是起支配作用的还是奇异项.P?1??成为应力奇异性指数，其值越大，奇异性越强，即在奇异点附近以更快的方式趋于无穷大。Re?<0时，界面端的位移趋于无穷大，没有物理意义；而当Re?>1时，其所对应的应力在界面端处应力趋于零，与Re?<1的特征值相对应的应力场，在界面端附近，它是一个高阶微量；另一方面，??0和??1恒满足此式子，??0对应于刚体位移，??1一般情况下对应于零应力场。由式子(2.39)可知道，界面端的应力奇异性，不仅与界面端结合形状有关，也与材料组合有关。依据该方程，通过选择合适的界面端形状和材料组合，可以使界面端的应力奇异性消失，提高结合材料的力学性能，达到结构优化的目的。一般来说，界面端几何形状对应力奇异性的影响较为明显，因此，在满足工艺和结构要求的条件下，选择合适的界面端形状，是结合材料设计制造中的一个重要问题。

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