东北大学毕业设计（论文） 第2章 界面力学的基本理论
物理关系，可以得到：当界面两侧材料不同时，界面两侧的应力存在不连续性，即：（1）在垂直于界面的方向上（曲面界面为其切平面），界面两侧的正应力一般是不连续的。（2）在垂直于界面的方向上（曲面界面为其切平面），界面两侧的切应力一般是不连续的。（3）在平行于界面的方向上（曲面界面为其切平面），界面两侧的正应力一般是不连续的。
对于二维完全结合界面，可进一步描述为：
?y1??y2，?xy1??xy2，?x1??x2 （2.3）
这些不连续的量之间并不是相互独立的，它们要受式（2.1）的约束。对于图2.1（a）的完全结合界面，有如下的关系：
(?2?1)?x2??(?1?1)?x1??(?1??2)?y （2.4）
7?(?2?1)??13??13??2?y2?1?y2?[??]?x （2.5）
?2?1?1?1?1?1?2?1?xy1???xy2 （2.6）
其中 ??G2/G1 （2.7）
??3?4? （平面应变）
???3????1??? （平面应力） （2.8）
上面各式中，G与?分别为材料的切变模量和柏松比；?为卡帕参数。
2.3.2 剥离界面
当界面处有未结合的部分或者较大的缺陷和洞孔时，即使两侧材料的边界在界面处有相同的几何位移，但是对于两侧是分离的情况，如图2-2（b）所示，要作为剥离界面来处理。在剥离界面上必须满足自由表面条件，即：
23 （2.9） Pi1?Pi2?0，i?1，，对于二维剥离界面，式（2.9）可进一步描述为：
?y1??xy1?0，?y2??xy2?0 （2.10）
为了保证式（2.9）的成立，要求剥离区内的开口位移?v?v1?v2?0，但是这是理想化的条件。事实上，在剥离界面和完全结合界面交界处附近，但是这个要求很难满足。
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并不是所有未结合的部分都可以做剥离界面处理，而要根据实际中的变形情况是否是分离或者接触，选用合适的界面类型。
2.3.3 接触界面
接触界面是指虽然两个材料未结合，但由于外力或者残余应力的作用而接触在一起的界面。变形后的接触界面，分为三个区域：粘着区、滑移区和开口区[26]。粘着区界面上的边界条件和完全结合界面的连续性条件式（2.1）完全相同，界面两侧的材料点在变形之后仍接触在一起。开口区是边界条件和剥离界面的表面自由条件式（2.9）相同，变形前接触在一起的点，变形后就分离了的情况。滑移区则是变形前接触在一起的点，变形后两材料仍接触在一起，但是沿接触面产生一个相对位移的情况，如图2.2（c）所示。
设界面上的面力场和位移场分别为Pi1(x)，Pi2(x)和u1(x)，u2(x)，v1(x)，v2(x)，在微小滑移和小变形情况下，得到近似的边界条件表达式为：
i1??Pi2，un1?un2，?n1??n2?0，?t1??t2??f?n （2.11） P
式(2.11)中的n表示界面法向方向；?表示界面切线方向；f为接触面处的动摩擦系数，它的正负号要根据相对位移的方向来确定。
以二维接触界面为例，式（2.11）可描述为：
?y1??y2?0 ，v1?v2，
?xy1??xy2??f?y （2.12）
接触界面究竟产生什么样的粘着区、开口区和滑移区，一般要根据结构的具体受力情况，通过反复迭代的方法来确定[27]。
2.4 Dundurs参数
工程中应用最多的是由两种各向同性材料组成的结合材料，这种结合材料的弹性常数，从直观上来讲，由于是两种不同的材料结合在一起，共应有4个弹性常数，即：两个杨氏模量，以及两个泊松比。但是，对于平面问题，这四个材料常数对结合材料应力或变形的影响，并不是相互独立的，而可以用两个新的组合材料参数来描述，称为Dundurs[28]参数，也称异材参数。在平面问题时，Dundurs定义的弹性参数，在 Bogy[29,30]后来的讨论中，可以用下面两个组合参数来表示异材的弹性性能：
???1?k2?1???2?k1?1???k?1???2?k1?1? ??12 (2.13)
?1?k2?1???2?k1?1??1?k2?1???2?k1?1?- 12 -
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其中 ??3?4?（平面应变） ??（平面应力） （3-?）/（1??） ??E/[2(1??)] (2.14) 此处下标1，2对应于材料1和材料2。如果要交换材料1和材料2，则α，β是有变化的。考虑到一般弹性材料的0???0.5，无论从平面应力状态还是从平面应变状态，均可分析Dundurs参数的取值范围。
??1, ??0.5 (2.15)
但上述值域是α，β单独取值时的情况。实际上两者在取极限值时有一定的关系，即在(2.13)式中消去???1?2，可得：
????即
??1??1?? (2.16) ?k2?1k1?1?2??1????2??1????1 平面应变 4?1??2?4?1??1?4 ?????1????1??2???1???4?1??2? 平面应力 (2.17)
在平面应变情况下，有：
??1????02??14(1??1)??1????0??24(1??2)2 (2.18)
故?关于?1为单调增函数，关于?2为单调减函数。所以，当考虑0???0.5时，有：
?max??min(1??)?0(1??)?0.5?1???24(1?0)4(1?0.5)44 (2.19)
?(1??)?0(1??)?0???????24(1?0.5)4(1?0)44??在平面应力的情况下，同样的方法可以得到：
?max????min3188 (2.20)
31???88 - 13 -
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因而，Dunders参数的值域如图2.3所示。其中阴影部分是平面应力状态下结合材 料的Dundurs参数的取值范围，外侧的平行四边形的域内为平面应变状态时的取值范围，显然，平面应变状态下取值范围应该更大一些。
平面应力
平面应变
材料1
材料2
图2.3 Dunders参数的取值范围 图2.4 二维界面端模型
2.5 平面界面端附近的奇异应力场
对于图2.4所示的理想结合的双材料界面端模型。在极坐标系下，界面连续条件和自由边界条件可以表达为：
ur1?ur2, v?1?v?2, ??1???2, ?r?1??r?2 在??0处 (2.21)
??1??r?1?0 在???1处
??1??r?2?0 在???2处 (2.22)
取Goursat 的应力函数为：
?j?AjZ?BjZ,?j?CjZ?DjZ,j?1,2 (2.23)
??????这里j?1，2对应于材料1和材料2。则由平面问题的应力函数性质可得：
??j?i?r?j_??2i(??1)???Aj?e?Bj?e?i(??1)??Cj?ei(??1)??r??1???2??? ??Bj?ei(??1)??Aj?e?i(??1)??Dj?e?i(??1)??r??1???_?_??
_???i(??1)??i(??1)?2?j(urj?iv?j)??kjAje?Bj?e?Dje?i(??1)??r????? ??kjBjei(??1)??Aj?e?i(??1)??Cje?i(??1)??r????????? (2.24)
代入(2.17)式和(2.18)式的界面连续条件和自由边界条件，得联立线性方程式：
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