第二十一讲 矩形 菱形 正方形

【基础知识回顾】 一、矩形：

1、定义：有一个角是 角的平行四边形叫做矩形 2、矩形的性质：

⑴矩形的四个角都 ⑵矩形的对角线 3、矩形的判定： ⑴用定义判定

⑵有三个角是直角的 是矩形 ⑶对角线相等的 是矩形

【名师提醒：1、矩形是 对称图形，对称中心是 ，矩形又是 对称图形，对称轴有 条2、矩形被它的对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】 二、菱形：

1、定义：有一组邻边 的平行四边形叫做菱形 2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都

⑵菱形的对角线 且每条对角线

3、菱形的判定：⑴用定义判定

⑵对角线互相垂直的 是菱形 ⑶四条边都相等的 是菱形

【名师提醒：1、菱形既是 对称图形，也是 对称图形，它有 条对称轴，

分别是 2、菱形被对角线分成四个全等的 三角形和两对全等的 三角形 3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的 来计算 4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】 三、正方形：

1、定义：有一组邻边相等的 是正方形，或有一个角是直角的 是正方形 2、性质：⑴正方形四个角都 都是 角，

⑵正方形四边条都

⑶正方形两对角线 、 且 每条对角线平分一组内角

3、判定：⑴先证是矩形，再证 ⑵先证是菱形，再证

【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：

2、正方形也既是 对称图形，又是 对称图形，有 条对称轴

3、几种特殊四边形的性质和判定都是从 、 、 三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】 【重点考点例析】

考点一：与矩形有关的折叠问题 例1 （2013?泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=周长为（ ） A．72cm

3，那么该矩形的4B．36cm C．20cm D．16cm

思路分析： 根据矩形的性质可得AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°，再根据翻折变换的性质可得∠AFE=∠D=90°，AD=AF，然后根据同角的余角相等求出∠BAF=∠EFC，然后根据tan∠EFC=设BF=3x、AB=4x，利用勾股定理列式求出AF=5x，再求出CF，根据tan∠EFC=出CE并求出DE，最后在Rt△ADE中，利用勾股定理列式求出x，即可得解． 解：在矩形ABCD中，AB=CD，AD=BC，∠B=∠D=90°， ∵△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上， ∴∠AFE=∠D=90°，AD=AF， ∵∠EFC+∠AFB=180°-90°=90°， ∠BAF+∠AFB=90°， ∴∠BAF=∠EFC， ∵tan∠EFC=3，43表示43， 4AB2?BF2?(4x)2?(3x)2?5x， ∴设BF=3x、AB=4x， 在Rt△ABF中，AF=∴AD=BC=5x， ∴CF=BC-BF=5x-3x=2x， ∵tan∠EFC=3， 433=x， 42∴CE=CF?tan∠EFC=2x?∴DE=CD-CE=4x-35x=x， 22在Rt△ADE中，AD2+DE2=AE2， 即（5x）2+（5x）2=（105）2， 2整理得，x2=16， 解得x=4， ∴AB=4×4=16cm，AD=5×4=20cm， 矩形的周长=2（16+20）=72cm． 故选A． 点评：本题考查了矩形的对边相等，四个角都是直角的性质，锐角三角函数，勾股定理的应用，根据正切值设出未知数并表示出图形中的各线段是解题的关键，也是本题的难点． 对应训练 1．（2013?湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则AD的值为（ ） ABC．

A．

1 2B．

3 32 3D．

2 2

1． A

考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题

例2 （2013?泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ． 思路分析：由菱形的性质可知：对角线互相平分且垂直又因为AC：BD=1：2，所以AO：BO=1：2，再根据菱形的面积为两对角线乘积的一半计算即可． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AO=CO，BO=DO， ∴AC=2AO，BD=2BO， ∴AO：BO=1：2； ∵菱形ABCD的周长为85， ∴AB=25， ∵AO：BO=1：2， ∴AO=2，BO=4， ∴菱形ABCD的面积S=8?4=16， 2故答案为： 点评：本题考查了菱形性质和勾股定理，注意：菱形的对角线互相垂直平分，菱形的四条边相等和菱形的面积为两对角线乘积的一半． 对应训练 2．（2013?凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（ ） A．14 B．15 C．16 D．17

2．C

考点三：和正方形有关的证明题

例3 （2013?湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF． （1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由； （2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长． 思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“边角边”证明△AOD和△COF全等，根据全等三角形对应边相等即可得证； （2）与（1）同理求出CF=AD，连接DF交OE于G，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG=1 OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD． 2解：（1）AD=CF． 理由如下：在正方形ABCO和正方形ODEF中，AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD， 即∠AOD=∠COF，