第二十一讲 矩形 菱形 正方形 下载本文

则在△BAD和△CAF中, ?AB?AC???BAD??CAF, ?AD?AF?∴△BAD≌△CAF(SAS), ∴BD=CF, ∵BD+CD=BC, ∴CF+CD=BC; (2)CF-CD=BC; (3)①CD-CF=BC ②∵∠BAC=90°,∠ABC=45°, ∴∠ACB=∠ABC=45°, ∴AB=AC, ∵四边形ADEF是正方形, ∴AD=AF,∠DAF=90°, ∵∠BAD=90°-∠BAF,∠CAF=90°-∠BAF, ∴∠BAD=∠CAF, ∵在△BAD和△CAF中, ?AB?AC???BAD??CAF, ?AD?AF?∴△BAD≌△CAF(SAS), ∴∠ACF=∠ABD, ∵∠ABC=45°, ∴∠ABD=135°, ∴∠ACF=∠ABD=135°, ∴∠FCD=90°, ∴△FCD是直角三角形. ∵正方形ADEF的边长为22且对角线AE、DF相交于点O. ∴DF=2AD=4,O为DF中点. ∴OC=1DF=2. 236.(2013?盘锦)如图,正方形ABCD的边长是3,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在BC同侧,连接EF,CF. (1)如图??,当点P在CB延长线上时,求证:四边形PCFE是平行四边形; (2)如图??,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由; (3)在(2)的条件下,四边形PCFE的面积是否有最大值?若有,请求出面积的最大值及此时BP长;若没有,请说明理由.

36.解:(1)∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠PBA=90° ∵在△PBA和△FBC中,

?AB?BC???PBA??ABC, ?BP?BF?∴△PBA≌△FBC(SAS), ∴PA=FC,∠PAB=∠FCB. ∵PA=PE,

∴PE=FC. ∵∠PAB+∠APB=90°, ∴∠FCB+∠APB=90°. ∵∠EPA=90°,

∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°, 即∠EPC+∠PCF=180°, ∴EP∥FC,

∴四边形EPCF是平行四边形;

(2)结论:四边形EPCF是平行四边形, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABC=∠CBF=90° ∵在△PBA和△FBC中,

?AB?BC? ??PBA??ABC, ?BP?BF?∴△PBA≌△FBC(SAS),

∴PA=FC,∠PAB=∠FCB. ∵PA=PE,

∴PE=FC. ∵∠FCB+∠BFC=90°, ∠EPB+∠APB=90°, ∴∠BPE=∠FCB, ∴EP∥FC,

∴四边形EPCF是平行四边形; (3)设BP=x,则PC=3-x 平行四边形PEFC的面积为S, S=PC?BF=PC?PB=(3-x)x =-(x-329)+. 24∵a=-1<0, ∴抛物线的开口向下, 33时,S最大=, 2233∴当BP=时,四边形PCFE的面积最大,最大值为. 22∴当x=