第二十一讲 矩形 菱形 正方形 下载本文

(3)当AD:AB= 时,四边形MENF是正方形(只写结论,不需证明) 7.(1)证明:∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=DC,∠A=∠D=90°, ∵M为AD中点, ∴AM=DM, 在△ABM和△DCM, ?AM?DM???A??D, ?AB?CD?∴△ABM≌△DCM(SAS); (2)答:四边形MENF是菱形, 证明:∵N、E、F分别是BC、BM、CM的中点, ∴NE∥CM,NE=11CM,MF=CM, 22∴NE=FM,NE∥FM, ∴四边形MENF是平行四边形, ∵△ABM≌△DCM, ∴BM=CM, ∵E、F分别是BM、CM的中点, ∴ME=MF, ∴平行四边形MENF是菱形; (3)解:当AD:AB=2:1时,四边形MENF是正方形, 理由是:∵M为AD中点, ∴AD=2AM, ∵AD:AB=2:1, ∴AM=AB, ∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°, 同理∠DMC=45°, ∴∠EMF=180°-45°-45°=90°, ∵四边形MENF是菱形, ∴菱形MENF是正方形, 故答案为:2:1. 8.(2013?淄博)矩形纸片ABCD中,AB=5,AD=4. (1)如图1,四边形MNEF是在矩形纸片ABCD中裁剪出的一个正方形.你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形,最大面积是多少?说明理由; (2)请用矩形纸片ABCD剪拼成一个面积最大的正方形.要求:在图2的矩形ABCD中画出裁剪线,并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图(使正方形的顶点都在网格的格点上).

8.解:(1)正方形的最大面积是16.设AM=x(0≤x≤4),则MD=4-x. ∵四边形MNEF是正方形,

∴MN=MF,∠AMN+∠FMD=90°. ∵∠AMN+∠ANM=90°, ∴∠ANM=∠FMD. ∵在△ANM和△DMF中

??A??D? ??ANM??FMD, ?MN?FM?∴△ANM≌△DMF(AAS). ∴DM=AN.

∴S正方形MNEF=MN2=AM2+AN2, =x2+(4-x)2, =2(x-2)2+8

∵函数 S正方形MNEF=2(x-2)2+8的开口向上, 对称轴是x=2,

在对称轴的左侧S随x的增大而减小,在对称轴的右侧S随x的增大而增大, ∵0≤x≤4,

∴当x=0或x=4时,

正方形MNEF的面积最大. 最大值是16.

(2)先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1,然后拼成如图2的正方形.

9.(2013?济南)(1)如图1,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,请你完成图形,并证明:BE=CD;(尺规作图,不写做法,保留作图痕迹);

(2)如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,BE与CD有什么数量关系?简单说明理由; (3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:

如图3,要测量池塘两岸相对的两点B,E的距离,已经测得∠ABC=45°,∠CAE=90°,AB=BC=100米,AC=AE,求BE的长.

9.解:(1)完成图形,如图所示:

证明:∵△ABD和△ACE都是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,

∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC,即∠CAD=∠EAB, ∵在△CAD和△EAB中,

?AD?AB???CAD??EAB, ?AC?AE?∴△CAD≌△EAB(SAS), ∴BE=CD;

(2)BE=CD,理由同(1), ∵四边形ABFD和ACGE均为正方形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=90°, ∴∠CAD=∠EAB, ∵在△CAD和△EAB中, ?AD?AB???CAD??EAB, ?AC?AE?∴△CAD≌△EAB(SAS), ∴BE=CD; (3)由(1)、(2)的解题经验可知,如图,过A作等腰直角三角形ABD,∠BAD=90°, 则AD=AB=100米,∠ABD=45°, ∴BD=1002米, 连接CD,则由(2)可得BE=CD, ∵∠ABC=45°,∴∠DBC=90°, 在Rt△DBC中,BC=100米,BD=1002米, 根据勾股定理得:CD=100?(1002)?1003米, 则BE=CD=1003米. 【备考真题过关】 一、选择题 1.(2013?铜仁地区)下列命题中,真命题是( ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形

C.对角线互相平分的四边形是平行四边形 D.对角线互相垂直平分的四边形是正方形 1.C 2.(2013?宜宾)矩形具有而菱形不具有的性质是( ) A.两组对边分别平行 B.对角线相等 C.对角线互相平分 D.两组对角分别相等 2.B

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