【解答】解：若在四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内放置一个与其它球都相切的小球， 设该小球的半径为r， 则r+1+解得：r=

，

=

，

若将一个棱长为a的正方体嵌入到四个半径为1且两两相切的实心小球所形成的球间空隙内，使得正方体能够任意自由地转动，

=2r， 则解得：a=

，

故选：D．

【点评】本题考查的知识点是空间球与球之间的位置关系，正三棱锥的高与棱长的关系，难度较大．

二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分． 9．已知α，β为锐角，

，则cos2β= ，α+2β= ．

【考点】两角和与差的余弦函数；二倍角的余弦．

【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．

【分析】由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosα，cosβ的值，利用二倍角公式可求cos2β，sin2β的值，利用两角和的余弦函数公式可求sin（α+2β）的值，结合α+2β的范围，由余弦函数的性质即可得解． β为锐角，【解答】解：∵α，cosβ=

=

，

）2=，sin2β=2sinβcosβ=2×

×﹣

×=

，

×

=，

，可得：cosα=

=

，

∴cos2β=1﹣2sin2β=1﹣2×（

∵cos（α+2β）=cosαcos2β﹣sinαsin2β=∵α+2β∈（0，∴α+2β=

．

． ），

故答案为：，

【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的余弦函数公式，

余弦函数的性质在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．

10．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为

．表面积为

+12 ．体积为

．

【考点】棱柱的结构特征．

【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．

【分析】由已知可得正三棱柱的所有棱长均为2，进而可得三视图中正视图的面积，及棱柱的表面积和体积．

【解答】解：由已知可得正三棱柱的所有棱长均为2， 则此三棱柱的正视图为矩形，长2，宽，面积， 表面积为：2×体积为：×故答案为：

，

+6×2=×2=，

， +12，

【点评】本题考查的知识点是棱柱的结构特征，由三视图求几何体的体积和表面积，难度中档．

11．若指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），则f（3）= 的解集为 （﹣1，1） ． 【考点】指数函数的图象与性质． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】设出指数函数解析式，将点的坐标代入，求参数a，然后将不等式具体化，换元得到一元二次不等式解之，然后还原求解集．

【解答】解：设指数函数解析式为y=ax，因为指数函数f（x）的图象过点（﹣2，4），所以4=a

﹣2

；不等式f（x）+f（﹣x）＜

，解得a=，所以指数函数解析式为y=，所以f（3）=，设2x=t，不等式化为

；

，所以2t2﹣

不等式f（x）+f（﹣x）＜为

5t+2＜0解得＜t＜2，即＜2x＜2，所以﹣1＜x＜1，所以不等式的解集为（﹣1，1）． 故答案为：；（﹣1，1）．

【点评】本题考查了待定系数法求指数函数解析式以及解指数不等式；采用了换元的方法．

12．已知

15 ．

【考点】数列递推式．

= 5 ，S2015=

【专题】计算题；归纳法；等差数列与等比数列．

【分析】根据题意推知数列{an}（n≥7）是周期为3的周期数列，由此进行解答． 【解答】解：∵

a1=1，a2=2，a3=3，a4=4，a5=5，a6=6， a7=﹣a4=﹣4，a8=﹣a5=﹣5，a9=﹣a6=﹣6， a10=﹣a4=﹣4，a11=﹣a8=a5=5，a12=﹣a9=a6=6， a13=﹣a4=﹣4，a14=﹣a8=a5=5，a15=﹣a9=a6=6， ∴数列{an}（n≥7）是周期为3的周期数列， ∵2015=671×3+2， ∴a2015=a5=5．

∴S2015=a1+a2+a3+a2010+a2011+a2013+a2014+a2015， =a1+a2+a3﹣a4+a5+a6﹣a4+a5， =1+2+3﹣4+5+6﹣4+5， =15．

故a2015=5．S2015=15． 故答案为5；15．

【点评】本题考查了数列递推式、数列的周期性，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．

13．已知正实数x，y满足lnx+lny=0，且k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，则k的最大值是 ．【考点】基本不等式；函数单调性的性质． 【专题】函数的性质及应用．

【分析】由题意可得xy=1，k应小于或等于

的最小值．令 x+2y=t，可得 t≥2

，

且 =t﹣，故k应小于或等于t﹣的最小值．根据函数 t﹣

在[2，+∞） 上是增函数，求得t﹣取得最小值，即可得到k的最大值．

【解答】解：∵已知正实数x，y满足lnx+lny=0，∴xy=1． ∵k（x+2y）≤x2+4y2恒成立，∴k≤

，

故k应小于或等于的最小值．

令 x+2y=t，则由基本不等式可得t≥2故

=

，当且仅当 x=2y 时，取等号，故t∈[2，+∞）．

=t﹣，故k应小于或等于t﹣的最小值．

由于函数 t﹣在[2，+∞） 上是增函数，故当t=2时，t﹣取得最小值为，

故k的最大值是，

故答案为：．

【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，基本不等式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．

14．已知△ABC中，

，则

= ﹣7 ．

【考点】正弦定理的应用；向量在几何中的应用． 【专题】解三角形；平面向量及应用．

【分析】利用向量的数量积和向量夹角的定义，将

=

即可得到sinAcosB=﹣7cosAsinB，把【解答】解：∵∴∴∴

， ，

，根据向量数量积的和向量夹角的定义，

=4

，

转化为

，再应用正弦定理将边转化为角表示，

化为正余弦表示代入即可得答案．

根据正弦定理，可得﹣3sinBcosA+3cosBsinA=4sinC， 又4sinC=4sin（A+B）=4sinAcosB+4cosAsinB， ∴sinAcosB=﹣7cosAsinB，

=

．

故答案为：﹣7．

【点评】本题考查了向量的数量积在几何中的应用，涉及了向量数量积的定义，向量夹角的定义以及正弦定理的应用．解题时要特别注意向量的夹角与三角形内角的关系，在三角形问题中，解题的思路一般是应用正弦定理和余弦定理进行“边化角”或“角化边”．属于中档题．

22

15．0）已知点M（4，，点P在曲线y2=8x上运动，点Q在曲线（x﹣2）+y=1上运动，则

取到最小值时P的横坐标为 2 ． 【考点】抛物线的简单性质．

【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．