【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 【分析】（Ⅰ）利用椭圆C：

+

=1（a＞b＞0）上的动点到焦点距离的最小值为

，

可求a﹣c的值，利用直线与圆相切，可得b的值，由此可求椭圆C的方程； （Ⅱ）设直线AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及|AB|=求得结论． 【解答】解：（Ⅰ）由题意知a﹣c=又因为b=

，

+

=t

，即可

﹣1； …

=1，所以a2=2，b2=1． …

+y2=1． …

故椭圆C的方程为

（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x﹣2），A（x1，y1），B（x2，y2），P（x，y）， 由

得（1+2k2）x2﹣8k2x+8k2﹣2=0． …

△=64k4﹣4（2k2+1）（8k2﹣2）＞0，∴k2

． …

x1+x2=又由|AB|=

，x1x2=，得

．

|x1﹣x2|=

=

，即

…

可得 …

又由+=t

，得（x1+x2，y1+y2）=t（x，y），则

=，

= …

故

得，t2=，即t=±

，即16k2=t2（1+2k2）． …

． …

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．

20．数列{an}满足a1=2，

．

（1）设

，求数列{bn}的通项公式；

，数列{cn}的前n项和为Sn，求出Sn并由此证明：

．

（2）设

【考点】数列递推式；数列的函数特性．

【专题】等差数列与等比数列．

【分析】（1）利用数列递推式，结合条件，可得bn+1﹣bn=

，利用叠加法，可求数列{bn}

的通项公式；

（2）确定数列的通项，利用叠加法求和，利用数列的单调性，即可得到结论．

【解答】解：（1）∵，

∴﹣=

∵

∴bn+1﹣bn=

∴bn=b1+（b2﹣b1）+…+（bn﹣bn﹣1）=

∵∴b1=1 ∴bn=

，a1=2，

；

（2）由（1）知，an=

= [

，∴，

∴]

∴Sn=

=

∵∴∴

=

=

得到递减，

，即．

【点评】本题考查数列的通项与求和，考查叠加法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

2016年10月26日