（恒定电场，电阻计算例题）
21. 半球形接地体的位置靠近直而深的陡壁。由接地体中心o到陡壁的距离h＝10m，球半径R0=0.3m，土壤的电导率??10?2S/m，通过电极的电流I=100A。求在点B沿ox方向的跨步电压（设步长为0.75m），并计算接地电阻。
解 角形场域的边界条件为电流密度线沿地表面及陡壁表面，如图设置镜象，可满足边界条件不变。设流出两个整球的电流都是2I，因球之间的距离2h较R0大得多，近似认为它们的电流沿各自球的径向均匀分布，类似于静电场中相距很远的两个导体球都把电荷2q近似集中到球心的情形。
球的电位：??2I2II??4??R04??2h2???11????R2h?? ?0?21题图
半球接地体的接地电阻：R??l?1?11???? ??2???R02h?代入数据得到R=53.87Ω对于x处的电位可得：?x?I?11???? 2???x2h?x?在点B，x＝0.3m。一个跨步距离上的点C，x=0.3+0.75=1.05m， 并以I＝100A代入φx ，则跨步电压为：
Ub??b??c?
100?11??11?[???V ????]?3792?22??10?0.320?0.3??1.0520?1.05?22. （毕—萨定律例题）真空中, 半径为R 的载流导线, 通以电流I，求其轴线上一点p的磁感应强度的方向和大小.
?Idl?Icos?dl解：dB?02，dBx?0 24πr4πr由对称性分析，该磁场强度只有x方向的分量。
B?Bx??dBsin?
cos??Rr
r2?R2?x2?0Icos?dl ?4πlr2?IR2πRB?03?0dl
4πrB?
22题图
B??0IR2（2x?R）2223
5
23. （毕—萨定律例题）求半圆形导线通以电流I时，在其圆心O处的磁感应强度的方向和大小.
?Idl解：由毕奥—萨伐尔定律知：dB?02 4πrI 由右手定则知，B的方向指向纸的背面。而r=R, dl=Rdθ，则：
B??dB?
4π?0?0??0IIRd???R24πR?0??0I4RR
O
第23题图
24. （磁场强度与磁场力例题）两平行、轴线间距离为d的半无限长直导线1、2，以直导线3连
接，导线为铜线，其半径均为a。通以电流I（假定电流集中在导线的几何轴线上），试确定连接1，2的导线段3所受的磁场力。
解 建立坐标系如图4-6示。连接1、2的导线段为x=a至x=d-a。由于为简化计算，已经假定认为电流集中在导线的几何轴线上。在区间（a，d－a）内任一点x处截取长度元dx，则导线1，2在x处的磁感应强度B1和B2的方向相同（它垂直于导线所在平面并指向纸面），由于空气以及非铁磁物质的磁导率与真空中的磁导率μ0极其接近。
由单根有限长导线磁场计算公式：
??0I?B?(cos?1?cos?2)e?
4?r可知导线1和导线2在导线3任一段元的场强B1和B2分别为：
第24题图
B1??0I?I?(cos00?cos)?0 4?x24?xB2??0I?(cos?cos?)?
4?(d?x)24?(d?x)?0I11(?) 4?xd?x?0I因此，长度元dx处的磁感应强度B的大小为
B?B1?B2?则磁场力F?dF???d?aaI?0I?1?0I?d?a?1? ?dx?ln??4??xd?x?4?a（如果连接导线3为可绕一端旋转的刀闸，当通过短路电流时磁场力F的转矩有可能将刀闸推开。）
25. （毕奥—萨伐尔定律与磁通例题）无限长直导线通以电流 I，图示直角三角形ΔA’B’C’与之共平面，求通过ΔA’B’C’的磁通。设a=12cm，b=7cm，d=5cm，I=10A，求出数值结果。
解 长直导线外任一点的磁感应强度B???0I?e? 2?r与其距离为r的各点上B的方向相同。窄长条上穿进的磁通
???Id??B?dS?Bds?0zdr
2?rzaa?b?d?r?由于： ? ? z? b?d?rbb于是，穿过ΔA’B’C’磁通为：
第25题图
6
???d????0Ia?b?d?r?drd2?rb
?Ia?b?d?b?d?0Ia?0ln?2?bd2?b?d代入数据，得到数值结果
4??10?7?10?0.12??0.07?0.05?0.07?0.054??10?7?10?0.12??ln? 2??0.070.052??0.12?10?6Wb26. （安培环路定理及磁化强度例题）空气中有一长直钢芯铝线，钢芯半径为R1，铝线的内外半径分别为R1、R2。钢的电导率为γ1，相对磁导率为μr，铝的电导率为γ2。设此导线中电流强度为I（假设电流在各介质内都作均匀分布），求导线内部的磁感应强度及磁化强度。
解 设电流依次为I1和I2，则应有I1＋I2＝I 。在钢芯和铝线的分界面上，电场强度的轴（切）向分量连续E1t=E2t，则：
I11I21 ???R12?1?R22?R12?2??2?2(R2?R12)I故：I1?，I?
??1??2?R12??2R222??1??2?R12??2R22?1R12I由安培环路定理：
0?r?R1,?H1?dl??H1dl?H12?r?ll?rI 21?R12
第26题图
?H1??r?0?1IrI1r ,B???H?1r012222?R12???1??2?R1??2R2??磁化强度：M1???r?1?H1?(?r?1)?1Ir 22???1??2?R12??2R2??r2?R12R1?r?R2,?H2?dl?H22?r?I1?2I2
lR2?R12?1r2?R12??H2???I1?2I? 22??2?r?R2?R1??0I(?1??2)R12??2r2 B2??0H2?22?r??1??2?R12??2R2M2?0
7
27. （边界条件例题）磁场由磁导率μ1＝1500μ0的钢进入空气中，已知钢中B1＝15T，α1 =87°。求分界面空气一侧的B2和α2。
解 钢内磁感应强度B1的两分量为
B1t?B1sin?1,B1n?B1cos?1 ?H1t?H2t,?B2t? ?0?B1t?0B1sin?1?1?1
第27题图
B2n?B1n?B1cos?1
22?B2?B2t?B2n?0.0785?T?
?0tg870tg?2?tg?1??0.01272,??2?0.73?
?11500
28.（标量磁位计算）有一载电流I的无限长直圆导线，试求图示导线外A、P两点之间的磁压UmAP。
?I?e?，在直线解 载有电流I的无限长直圆导线外的磁场强度H?2?rOP上取点C，令OC=OA=r。磁场强度沿着自点A到P的曲线l的曲线积分，只要曲线l不链绕电流，则积分值与路径无关。
因此，把圆孤AC连同直线段CP取作积分路径l，可以方便地得到积分值。A、P两点间的磁压：
UmAP??PA??????H?dl??H?dl??H?dlACACI??I????6?e???rd?e???0?012?2?r?
?
第28题图
29. （矢量磁位计算）用矢量磁位的方法，求无限长的平行双输电线的磁场。
解 设双输电线通过的电流大小相等方向相反，分布在z轴两边，且输电线轴线距z轴的距离均为x0。双输电线磁场的矢量磁位方向显然平行于z轴。由于输电线为无限长，在平行于xoy平面上磁场分布相同，研究点P（x，y，o）的情况。点P的矢量磁位由导线1和2的矢量磁位A1、A2叠加而得。首先单独考虑导线1的矢量位时，若选定坐标原点o为参考点，则电流I沿z轴方向，任一点P（r，α，z）的矢量磁位A将只有Az分量。
Az??04??VJz?Il/2dz'dV?0??
4?l/2[r2?(z?z')2]1/2R
第29题图
?0I(l/2?z)?[l/2?z]2?r2]1/2?1n 4?(l/2?z)?[?l/2?z]2?r2]1/2 8