?I?1??I1当l>>r, 则有：Az?01n???01n
4??r?4?r2故双输电线的合成矢量磁位：
????0Ir2??0I?x?x2A?A0?2?y?1?A2?2?lnrez??ln?x?x2ez
140??y2?B????A?
Bx??Az?y??Ay?z??Az?y??0I?2??y?y???x?x2? 0?2?y2?x?x0?2?y?B?Az?Ax?Az?0I?x?x0x?x0?y???x??z???x?2?????x?x2?
0??y2?x?x0?2?y2?B?Ax?Ayz???x??z?0
B?Bxi?Byj
30. （矢量磁位计算）利用矢量磁位重新计算例4-3中通过ΔA’B’C’的磁通。
解 如图4-32所示，仍规定ΔA’B’C’平面的正法向为垂直进入纸面内，则其周界的绕行方向应为图中箭头所示。通过ΔA’B’C’的磁通
????A,C,B,A,A?dl? ????????A,A?dl??C,A?dl??B,A?dl
导线外的矢量磁位
A???0Ix02?lnre?z
,对于C’A’段的积分，因A与dl垂直，故?C??A,A?dl?0
第30题图
对于C’B’段，
?B,??a??0Ix0??C,A?dl??0??2?lndez???dze?z???0Ix02?lnd 对于B’A’段，利用
zb?d?r?ab，即有r?b?d?bza，
A,??A,??Bl????0Ix0????,A?dB,??2?lnrez????dzez?drer? 其中点B’相应于z=a，点A’相应z=0。
综合上述结果，同样得到进入纸面内的磁通
9
???,?
???0Iax0?0I?a?b?d?b?dx0? A?dl?0?ln?ln?aln?a??AC,B,A,2?d2??bdd??0Ia?b?d?b?d?0Ialn?
2?bd2?31. （磁场力计算）将两根平行长直导线平行放置在一块十分厚的
大铁板外，两线相距1m，它们与铁板平面相距均为0.5m，载有彼此反向的电流，电流强度为10A，计算每根导线单位长度的受力。 解 设1、2为两根长直导线，考虑导线l的受力时必须分析铁块对磁场的影响。导线1、2的镜象分别为
I'??2??1500?1I??10?9.96A,?I'??9.96A
?2??1500?1
第31题图
????导线1单位长度受力F?F?F?F112 11'12'右边各项依次为电流I′、-I′、-I的磁场对电流I的作用力，其大小分别为
?0I'4??10?7?10?9.96F11?IlB?I?l???1.992?10?5
2?r112??1''?0I?I'4??10?7?10?9.96F12???2?0.996?10?5
2?r122??2''?0I24??10?7?102F12??2?10?5
2?r122??I?1????1??F1?1.992?10?5??ex??2?0.996?10?5??ex?ey??2?10?5ey2? ?2????10?5ex?3?10?5ey(N)?????5??5?同样：F2?F21'?F?F??10e?3?10ey?N? x12'22'
32. （电感计算与磁场力）求平行双输电线单位长度上的磁场力。
解：设平行双输电线的半径为R0，相距为D，此双输电线所流过的电流为I，如图取坐标轴，则其上任一点A的磁感应强度为
B??0I?0I? 2?x2??D?x?D?R0??e??e??R0??0I?e?0D?R0?0I??0ID?R0 ， L??ln?dx?lne?2?x2??D?x??I?R?R??00当D??R0时， Le?
?0Dln ?R010
线圈回路的内自感：Li??iI
其中I为流过回路的电流，Ψi是与整个回路电流交链的磁通。回路的内磁通，仅与回路部分电流相链，故必须将此部分内磁通折合为与回路电流I全交链的磁通，亦即折合为内磁链。
设长直导线截面半径为R，当通以电流I时，电流均匀分布于导线的截面，由安培环路定理，可
?I'Ir2'2?r?2I 求得离轴线r处的磁感应强度B?，其中I?2?RR2?r此时通过图示单位长度小环侧面积的磁通为
?I'?r2?I??d?i?dS?I1?dr?rdr
2?r2?rR22?R2?I3?Irdr? ?02?R48???导线单位长度内自感Li?i?
I8?导线单位长度内磁链?i?R线圈回路自感则等于外自感与内自感之和。
??????i??dl1?dl2l1?L??e?Le?Li??? ??l2?l1II4??R2?其中l1为线圈回路轴心线的长度，l2为线圈回路内周界
的长度。平行双输电线单位长度的外自感，若再计入其内自感则得平行双输电线单位长度的自感
L??0?D1?? ln??????R04?
第32题图
12I2?0D?磁场能量为：Wm?LI?(ln?)
22?R04?选导线之间的距离D作为广义坐标g，则在这一方向上的作用力fD为对应之广义力。
?Wm?II2??0D?由磁场力计算公式可得：fD?()I?常数?（ln?）?0
?D2?D?R04?4?DfD＞0，说明磁场力是在使得导线间距离D增大的方向上。亦即通常所说的斥力。
33. （电感的计算）求密绕w匝线圈的螺线环的自感。圆环的平均半径为d，截面为半径等于a的圆形。
解：设电流集中在回路的轴线上。利用矢量磁位A计算外磁链。对于单匝线圈，回路的内周界l?为积分路径，则矢量磁位：A?磁链为：?o??A?dl??l??0Idl，dl为载流线圈的回路，可近似等于载流回路的中心轴线；外?4?lR?0Idl?dl?，dl’为求解磁通的面积区间，等于载流回路的内线圈面积。计??4?l?lr算可得：???I(d?d2?a2)。
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对于w匝线圈，密绕不考虑漏磁，则这一磁通与w匝线圈交链，其磁链Ψ＝wΦ，所以w匝线圈产生的总磁链为???w2I(d?d2?a2)，其自感为：
??w2I(d?d2?a2)Le????w2(d?d2?a2)
II对于内自感，一般均采用近似计算法。不论回路形状如何，其内自感计算可等同于无限长直导线的情况，回路的内自感为线圈的长度l乘以单位长内自感，即：Li?
34. （位移电流的计算）雷云放电以前，与地面感应电荷形成一均匀电场，设此均匀电场的电场强
度为5000V/cm，若雷云放电时间为1μs，求放电时此区域内位移电流密度之值。
解 由于雷云放电时间为1μs，故电场强度(由5000V /cm降为零)的变化率的绝对值：
?0l8?。
一般而言，回路的内自感远小于外自感，所以回路的自感为：L=Li+Lo≈Lo
dE5000?102??5000?108 （5000V /cm=500,000 V /m） ?6dt1?10??D??0
?E?8.85?10?12?5000?108?4.43A/m2 ?t???t35. （位移电流的计算）空间某点的电位移矢量依照指数规律变化D1e变化。求该点的位移电流
密度表达式。
??D 解 按位移电流密度?D?，故空间任一点的位移电流密度为：
?t?????t?D????t?D??(D1e)???D1e?t?t?
36. （位移电流的计算）点电荷q沿半径为R的圆周以角速度ω转动。写出其在圆心处位移电流密表达式。
A/m2
?解 由静电场知识知，此点电荷转动过程中，其在圆心所产生的电位移矢量为：D?q?R 4?R3??式中：R为时间变量t的矢量函数。本问题中，R矢径之模不变，其方向随时间而变。由位移电
???Dq?R?流密度表达式，得?D? ?t4?R3?t???R?qq???v?R????D?R???? 32?t4?R4?R其中为圆周上点M处切线方向上的单位矢量，指向圆周曲线增大的一方。
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37. （法拉第电磁感应定理）设空间磁场的磁感应强度
B?0.05e?100tT垂直于磁场的平面上，有一形状如数字8的闭合
回路，图中斜线区域的面积分别为S1?2.5cm2,S2?2cm2，求闭合线路中的感生电动势。
解 如图所示，穿过面积S1与S2的磁通分别为：
2.5?0.05e?100t?12.5?10?6e?100tWb 21002?100t?6?100t?2?BS2??0.05e?10?10eWb 2100?1?BS1?方向一致，e?e1?e2??
第37题图
由于上述两磁通在闭合线路中的感生电动势方向相反，取闭合回路感生电动势e的正方向同的正
?(?1??2)?2.5?10?4e?100tV ?t38. （法拉第电磁感应定理）均匀磁场内，磁通密度B=Bmcosωt。设磁场内有一面积为S的平面线圈回路，t=0时其初始位置于α=0处。当线圈按角速度ω1转动时，求此平面回路中所感生的电动势。 解 如图，穿过平面回路所界定的面积S的磁通
??SBcos??SBmcos?tcos??SBmcos?tcos?1t
则回路所感生的电动势为
e??
d??SBm?1sin?1tcos?t?SBm?sin?tcos?1t dt
第38题图
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