工程电磁场习题解答（2）
14. 如右图，金属壳内有一点电荷q1，试用静电场唯一性定理分析将外壳接地（图a）和外壳不接地两种情形，在哪一种情况下，壳内的电荷大小不对壳外空间的电场分布产生影响？
解：图 (a)表示外壳接地的情形。设封闭导体壳的外表面为S1，对于壳外区域而言，它是一个边界面。无论壳内电荷q1在数量上增减或作位置上的移动，由于导体壳接地，恒有?S1?0，始终没有
改变克外区域边界面上的边界条件。因此，由静电场唯一性定理知，在这种情况下，壳内的电荷不影响壳外的电场。
图 (b)表示外壳不接地的情形。由于静电感应，壳内电荷的量将在外壳表面感应出等量同符号的电荷，因此，它将影响外界电场的分布。
第14、15题图
15. 如右图，金属壳内有一点电荷q1，试用静电场唯一性定理分析将外壳接地（图a）和外壳不接地两种情况下，是否会影响到壳内的电场分布？
解：在图(a)、(b)二种情形下。设封闭导体壳的内表面为S2，对于壳内区域而言它是一个边界面。首先，S2是一个等位面。其次，如在壳内紧贴S2作一高斯面S，则有
?S(?????)dS?q1 ?n即电位移矢量D的通量为q1。因此以S2作为导体壳内电场的一个边界面，通过它的电通量仅仅决定于导体壳内的电荷，而与壳外的电荷分布是无关的。根据唯一性定理，当导体壳内带电导体都是给定电荷量时，电位函数可以相差一个常数，但是电场强度是唯一确定的。它不受导体壳外电荷q2的影响。这时甚至壳内的电位函数也是唯一确定的。因此，在这二种情况下，导体壳内的电场都不受壳外电荷的影响。
16. （静电场电轴法计算例题）空中两根互相平行、无限长的导体圆柱上带有等量异号电荷。设单位长度的电量τ=10-8C/m，圆柱的半径各为R0′=15cm,R0″=20cm，两圆柱的几何轴线间距离为d=50cm。试求电轴的位置、零位(中性)面的位置。
解 对于两半径不等的平行导体圆柱，根据式
??d???R0?????R0??????? x0?2d222可确定中性面到半径为R1的圆柱面的几何中心的距离
16题图
1
为：
??d???R0?????R0??502?152?202?????x0???23.25cm
2d2?50222中性面到半径R0″的圆柱面的几何中心的距离为：
??x0?d?x0?50?23.5?26.75cm
电轴到中性面的距离为：
22D????????x0???R0??23.252?152?17.76cm
????2
17. （静电场电位计算例题）如图，真空中无限长具有相同半径R0的平行双输电线，其轴心距为
D，设每根导线单位长度上所带的电荷量分别为+τ及-τ，求任一点P的电位。
解：由高斯定理可得两电轴分别产生的电场强度表达式为：
????? E1?R0，E2?R0
2??0R12??0R2选取坐标轴的原点o为零电位点，则点P电位为：
?P?1??D/2R1???D?E1?dR??ln?lnR1?
2??0?2?????D?E2?dR??ln?lnR2?
2??0?2?
?P?2??D/2R2由叠加原理，点P的电位为
?P??P?1??P?2??
??DD?ln?lnR?ln?lnR2??12??0?22?
17题图
18. （静电场电容计算例题）球形电容器的内球外半径为R1，外球的内半径为R2。介质的电容率
为ε0。要使得这一电容器的电容与空气中半径为R1的孤立导体球的电容之比不超过后者的1%，试确定球形电容器的内外半径比(R2/R1)。
解 设球形电容器的内导体球的电荷为q，则电容器中的电场强度为：
?E?q4??0R2?R0 (R1 R2内外球之间的电压为：U??q4??0RR1dR?2q?R2?R1? 4??0R1R2根据电容的定义： C12?q4??0R1R2? UR2?R1 2 在式中令R2→∞，得到半径为R1的孤立导体球的电容C?4??0R1，要使得 C12?C1R1R2?R2?R1??R11 ??C1R1100 即： R21，因此满足要求的球形电容器的半径比R2/R1≥101 ?1?R2?R110019. （静电场电容计算例题）两根平行细长导线位于与地面平行的平面内，导线半径为R0=4mm， 轴线间距离为d=1m。当导线至地面的高度不低于多大值时，忽略地面的影响，导线电容计算值的误差才不致超过1%。 解 图示A、B为两细长导线，令单位长度上分别带电荷+τ，-τ，先求两者之间的电压。因导线很细，d>>R0，可视导线的几何轴与电轴重合，由电场叠加原理，则可得不考虑地面的影响时，导线A与B连接轴线相近表面处点1及点2的电位为： ?A?d?R0R0??，?B? lnln2??0R02??0d?R02两导线间电压： ?d?R0?d?R0???U??A??B?ln??ln ???2??0?RR000??按电容的定义，可得单位长度两导线间的电容： 19题图 C0??U???0d?R0lnR0???0lndR0 (d??R0) 考虑地面的影响，则对应地设置镜象A′之电荷为-τ，镜象B′之电荷为+τ。由电场叠加原理， 同样可得任一点P的电位为： ?p?r?r?ln2?ln3 2??0r12??0r4故得导体A、B的电位分别为： ?d?2hR0??4h2?d2?A?ln?ln，?B? ln?ln222??02??R2??2h2??d4h?d0000故得两导线间电压为： ???d2h??d2h????? U??A??B?ln?ln???22222??0?4h?dR0???0?4h?dR0??按电容的定义，可得考虑地面影响时单位长度两导线间的电容为： 2??C0 ?d2h?? ???0ln???22U?4h?dR0??3 若要求两种情况下，电容值的误差不超过1%，即： ?C0?C0C?1?0?0.01 ??C0C0代入C0和C0′可求得导线距地面高度h必须满足： h?d1 12??50?1d?R?0??对于导线间距d=1m，导线之半径R0＝4mm时，算得h＞1.46m。 20.（恒定电场，电阻计算例题）厚度为h=4mm的薄钢片，其形状、尺寸、电极位置、电极上 的电位如图3-8所示，若钢的电导率为5×106S/m，R1=30mm， R2＝60mm，求电极之间的电阻。 解 通过电位函数φ满足拉普拉斯方程来求解。若选用圆柱坐标系，可以看出φ仅与α 坐标有关，而与r、z坐标无关，因此所满足的拉普拉斯方程不含对r、z的偏导数项，简化为： 1?????1d2?d2?1d2?????2,?2?0 ?r??222r?r??r?rd?dzrd?2直接积分得：??C1??C2 由边界条件??0时??U0，??可确定出待定常数为：C1?所以得到电位函数：????2时，??0， 20题图 2U0?，C2?U0。 2U0???U0 2U?1???1??2U0?e?????U0?e??0e? ??r??r?????r?电场强度为：E??grad?????2?U0?e? 电流密度为：???E??r??R22?U2?U0hR20通过薄钢片截面的电流：I????dS?? hdr?lnSR1?r?R1因此电极之间的电阻：R??U0?? R2I2?hlnR1代入已知数据求得数字解答：R??2?5?106?4?10?3?ln60?1030?10?3?3?1.13?10?4? 4