x2y2
解：(1)＋＝1
84
(2) 记△MAB的面积为S，
当直线l1的斜率不存在时，可求得S＝4.
1
当直线l1的斜率存在时，设为k(k≠0),则l1:y＝kx＋2，l2:y＝－x＋2 设A(x1，y1)， B(x2，y2) 由
kxy??8＋4＝142k4? 得(1＋2k2)x2＋42kx－4＝0 ，则x1＋x2＝－2，x1x2＝－2 ， 1＋2k1＋2k??y＝kx＋2
4(1＋k2)(4k2＋1)AB＝1＋k|x1－x2|＝
2k2＋122
又圆心Q(2，2)到l2的距离d1＝＜2 ，得k＞1 21＋k
22
2
又MP⊥AB，QM⊥CD，所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离，设为d2，即 |2k－2＋2|2|k|d2＝＝ 221＋k1＋k
4|k|4k2＋11
所以△MAB面积S＝|AB|d2＝＝422k2＋111
令t＝2k＋1∈(3，＋∞)，，则∈(0，)，S＝4
t3
2
k2(4k2＋1)
(2k2＋1)22t2－3t＋1
＝42t21132145(－)－∈(，4)， 2t283
45综上，?MAB面积的取值范围为(，4].
3
〖教学建议〗
（1）问题归类与方法： 1.相交弦问题
直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法.
1圆心角θ、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式． ○
θLθL
如：()2＋d2＝R 2，d＝Rcos，＝Rsin．
2222
2相交弦的垂直平分线过圆心． ○
2.直线与椭圆的位置关系 3.换元法求函数的最值
（2）方法选择与优化：本题计算面积时求高的方法不同，导致解题的繁简程度不同，答案中巧妙的运用圆的几何性质避开求M点坐标，也可以利用勾股定理求高PM?距离，此题也可以设直线PD的斜率为k，简化PM的形式.
PQ2?MQ2,MQ即是点Q到PD的
x2y2
例2．在平面直角坐标系xOy中，如图，已知A1、A2、B1、B2是椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的四个顶点，
ab
△A1B1B2是一个边长为2的等边三角形，其外接圆为圆M.
* (1) 求椭圆C及圆M的方程；
︵
(2) 若点D是圆M劣弧A1B2上一动点(点D异于端点A1、B2)，直线B1D分别交线段A1B2、椭圆C于
点E、G，直线B2G与A1B1交于点F.
GB1* * * (ⅰ) 求的最大值；
EB1
* * (ⅱ) 试问：E、F两点的横坐标之和是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
解：(1) 由题意知，B2(0，1)，A1(－3，0)， 所以b＝1，a＝3，
x22
所以椭圆C的方程为＋y＝1.
3
233
易得圆心M?－，0?，A1M＝，
3?3?
2
43??所以圆M的方程为x＋＋y2＝. 33??
(2) 设直线B1D的方程为
3
y＝kx－1?k＜－?，
3??
3k＋1323
与直线A1B2的方程y＝x＋1联立，解得点E(，)，
33k－13k－1
y＝kx－1，??2
联立?x消去y并整理，得 2
＋y＝1，??3
(1＋3k2)x2－6kx＝0，
3k2－1?6k?解得点G?2，2?，
?3k＋13k＋1?
6k|2|2
3k＋1GB1|xG|3k＋13k－3k
(ⅰ) ＝＝＝＝1－2 2EB1|xE|3k＋13k＋123
||3k－11
＝1＋
2
－（3k＋1）＋＋2
－（3k＋1）
2＋11
≤1＋＝，
222＋2
6＋3
当且仅当k＝－时，取“＝”，
3
2＋1GB1
所以的最大值为. EB12
3k2－1
－13k2＋11
(ⅱ) 直线B2G的方程为y＝x＋1＝－x＋1，
6k3k23k＋1
－6k3k＋13
x－1联立，解得点F(，)， 33k－13k－1
－6k23
所以E、F两点的横坐标之和为＋＝－23.
3k－13k－1
故E、F两点的横坐标之和为定值，该定值为－23. 与直线A1B1的方程y＝－
〖教学建议〗 （1） 问题归类与方法： 1.求圆的方程
方法1：三点代入圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解D、E、F． 方法2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心． 方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边． 2.联立两直线方程求交点坐标 3.共线或平行的弦长比转化为坐标之比 4.利用基本不等式求函数最值
（2）方法选择与优化：（1）问中求圆的方程方法1与2都可以，考虑到正三角形直接求重心即圆心，得圆标准方程比较快些，本问椭圆易错成“a＝2”；
（2）问中斜率k的范围易错，以斜率k为自变量时，利用基本不等式求函数最值，或者导数法.也可以
GB1πsinα＋1
借助椭圆参数方程设G(3cosα，sinα)(＜α＜π) , 上面的方法中的k＝kGB＝ ，最后＝
EB123cosα
1
π
2sin(α－)＋1
4sinα－cosα＋1
＝ 形式比较简洁,此法也可以参考.
22
3x22
例3.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E:＋y＝1 ，如图，动直线l：y?k1x?交椭圆E于A,B两
22点，C是椭圆E上一点，直线OC的斜率为k2，且k1k2?2，M是线段OC延长线上一点，且4MC:AB?2:3，M的半径为MC，OS,OT是M的两条切线，切点分别为S,T.求?SOT的最大值，
并求取得最大值时直线l的斜率. 解：设A(x1，y1)， B(x2，y2)
x22
＋y＝12
1
?，联立方程?
3?y＝kx－2
23k2
得(4k1＋2)x2－43k1x－1＝0，由题意知△＞0，且x1＋x2＝21，
2k1＋11
x1x2＝－， 22(2k1＋1)所以|AB|＝21＋k1|x1－x2|＝
1＋k11＋8k12 . 22k1＋1
2222221＋k11＋8k1
由题意可知圆M的半径r为r＝ 32k12＋1
由题设知k1k2＝222
，所以k2＝因此直线OC的方程为y＝x. 44k14k1
?联立方程?
?
x22
＋y＝122y＝x4k1
8k11222得x＝2，y＝2，因此|OC|＝x＋y＝1＋4k11＋4k1
2
2
1＋8k1
2 . 1＋4k1
2r1
由题sin∠SOM＝＝
OCr＋OC
1＋
r
22
OCOC＝＝r2
AB3
1＋8k13
2·1＋4k12
2k1＋13
＝ 22221＋k11＋8k124k1＋12k1＋2222k1＋1
1
2k1＋1332
≥＝×＝1 222(4k1＋1)＋(2k1＋2)23
2
2
2
2
当且仅当4k1＋1＝2k1＋2 即k1＝±
2
取等 2
当
ππOC1
＝1 时，(sin∠SOM)max＝ ，y＝sinx 在(0，) 上单调增，(∠SOT)max＝ r226
π
3
BC(∠SOT)max＝π2
综上∠SOT最大值为 ，取得最大值时直线l的斜率为±.
32〖教学建议〗
（1）问题归类与方法： 1.相切问题
如图，当圆外一点引两条切线时，在Rt△PAC 中. PC为∠APB的平分线，且垂直平分线段AB． 2. 直线与二次曲线的弦长公式.
3.利用换元法或基本不等式法等求函数最值.
PA（2）方法选择与优化：求函数最值时可以通过换元法令t＝1＋2k1(t＞1) 最终化为1
此方法比较基本.当然也可以分子分母展开后利用分离常数法求最值。
1129－(－)＋t24
x22
222
例4．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆方程为4＋y＝1，圆C：（x－1）＋y＝r．
*（1）求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值；
2
OC3
＝r2
***（2）如图，直线l与椭圆相交于A、B两点，且与圆C相切于点M，若满足M为线段AB中点的直线l有4条，求半径r的取值范围．