解：（1）PCmin＝
6
3
（2） 当AB的斜率不存在与圆C相切时，M在x轴上，故满足条
件的直线有两条；
?
当AB的斜率存在时，设A(x，y)，B(x，y)，M(x，y) 由?
?
1
1
2
2
0
0
x12
＋y12＝14
x222
＋y2＝14
y－yy＋y1y1y
两式相减得12·12＝－ 即kAB·0＝－,由题可知直线MC的斜率肯定存在，且kMC＝0， 又
4x04x1－x2x1＋x2x0－1x0－1x0－1y014x02
MC⊥AB ,则kAB＝－，所以－·＝－，x0＝ ，因为M在椭圆内部，则＋y02＜1
y0y0x04341121625
，0＜y0＜ ，所以r2＝(x0－1)2＋y02＝＋y02∈(，) ，故半径r∈(，) .
999333
〖教学建议〗
（1）问题归类与方法： 1.直线与圆相切问题
方法1：利用d＝r；方法2：在已知切点坐标的情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直． 2.直线与椭圆有两交点位置关系判断
方法1：联立方程组利用△＞0 ；方法2：弦中点在椭圆内部.
（2）方法选择与优化：中点弦问题转化为点差法解决，也可以用设直线AB为y＝kx＋m 联立椭圆得(14k2＋14kmm
＋4k)x＋8kmx＋4m－4＝0(*) ，利用韦达定理得M(－2，2) ，由MC⊥AB得m＝－ 由
3k4k＋14k＋1
2
2
2
4k2＋1|k＋m|11
(*)△＞0得m＜4k＋1 ，将m＝－代入解得k2＞ ，所以r＝2＝3k5k＋13
2
2
116
1＋2∈(，) . k33
二、反馈巩固
*1．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在第一象限，圆C与x轴交于A(1，0)，B(3，0)两点，且与直线x－y＋1＝0相切，则圆C的半径为________． 答案：2 (考查圆的几何性质，直线与圆的位置关系)
*2．设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，
则PA·PB的最大值是________．
答案：5 (考查直线过定点问题，基本不等式求最值)
**3．在平面直角坐标系xOy中，圆C：x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是 ． 4
答案： (考查圆与圆的位置关系，点到直线的距离)
3
*4．过点P(1，3)向圆x2＋y2＝2的作两条切线PA，PB，A，B为切点，则∠APB的正切值等于________．
4
答案： (考查直线与圆相切的性质，切线长的计算，二倍角的正切公式)
3
*5．已知直线x＋3y－7＝0，kx－y－2＝0和x轴、y轴围成四边形有外接圆，则实数k＝________． 答案：3 (考查两直线位置关系，圆的几何性质)
*6．设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和圆(x－6)2＋y2＝8上的点，则P，Q两点间的最大距离是 ． 答案：92 (考查圆的几何性质，解析几何中的最值问题)
*7．过圆x2＋y2＝4内一点P(1,1)作两条相互垂直的弦AC，BD，当AC＝BD时，四边形ABCD的面积为________．
答案：6 (考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离)
**8.在平面直角坐标系xOy中，已知点P是直线l：y＝x－2上的动点，点A,B分别是圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：x2＋(y－3)2＝1上的两个动点，则PA+PB的最小值为 . 答案：73－3. (考查点与圆的距离问题，点关于直线的对称问题)
**9. 在平面直角坐标系xOy中, 已知直线y＝x＋1与x轴，y轴分别交于M,N两点，点P在圆(x－a)2＋y2＝2上运动，若∠MPN恒为锐角，则实数a的取值范围是 . 答案：(－∞，－1－7)∪(7－1，＋∞) (考查两圆的位置关系)
**10. 已知点A(0，2)为圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外一点，圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则实数a的取值范围是________________．
答案：3－1≤a＜1 解析：点A(0，2)在圆M：x2＋y2－2ax－2ay＝0(a＞0)外，得4－4a＞0，则a＜
AM
1.圆M上存在点T使得∠MAT＝45°，则≤r＝2a，即AM≤2a，(a－2)2＋a2≤4a2(a＞0)，解得3－1≤a.
2
综上，实数a的取值范围是3－1≤a＜1.
（考查了点与圆的位置关系，两点之间的距离，一元二次不等式解法等内容）
***11．已知圆C：(x－2)2＋y2＝4，线段EF在直线l：y＝x＋1上运动，点P为线段EF上任意一点，若圆
→→
C上存在两点A，B，使得PA·PB≤0，则线段EF长度的最大值是________．
答案：14 (考查直线与圆的位置关系，解三角形，向量的数量积，两点间距离)
***12在平面直角坐标系xOy中，A，B为x轴正半轴上的两个动点，P(异于原点O)为y轴上的一个定点．若以AB为直径的圆与圆x2＋(y－2)2＝1相外切，且∠APB的大小恒为定值，则线段OP的长为________． 答案：3 (考查两圆的位置关系，定值问题处理方法)
m***13．设集合A＝{(x，y)|≤(x－2)2＋y2≤m2，x，y∈R}，B＝{(x，y)|2m≤x＋y≤2m＋1，x，y∈R}，若A∩B≠?，2则实数m的取值范围是___________．
1
答案：[，2＋2] (考查集合的含义，直线与圆的位置关系，不等式表示的平面区域及综合分析问题的
2能力)
**14．如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD=DC=1，AB=3，动点P在以点C为圆心，且与直线BD→→→相切的圆内运动，设AP＝αAD＋βAB（α，β∈R），则α+β的取值范围是
5答案：(1，) 3
（考查建系法解决向量问题，圆的标准方程，线性规划解决线性问题等等，本题也可以用向量的等和线解决范围α+β问题）
***15.在平面直角坐标系xOy中，圆C:x2＋y2＝r2，点A(3，0)，B(0，4)，若点P为线段AB上的任意点， →→在圆C上均存在两点M、N，使得PM＝MN，则半径r的取值范围 ▲ 412
答案：[，)
35
（考查圆的定比分点问题，垂径定理，勾股定理，方程组有解，不等式恒成立问题）
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．
* (1)若圆心C也在直线y＝x－1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程； ** (2)若圆C上存在点M，使MA＝2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
答案：(1)y＝3或3x＋4y－12＝0；
12
(2)a的取值范围为[0，]．
5
(考查直线与圆相切问题，求轨迹方程问题，两曲线交点问题及圆与圆位置关系问题)
17.如图，在平面直角坐标系XOY中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C，D分别为线段OA，OB上的动点，且满足AC＝BD．
*（1）若AC＝4，求直线CD的方程；
**（2）证明：△OCD的外接圆恒过定点（异于原点O）．
解(1)：因为A(－3，4)，所以OA＝（－3）2＋42＝5.
34－，?. 因为AC＝4，所以OC＝1，所以C??55?
由BD＝4，得D(5，0)，
40－51
所以直线CD的斜率为＝－，
37－?5－??5?yAy A O B l x CODBx
1
所以直线CD的方程为y＝－(x－5)，即x＋7y－5＝0.
7
(2) 证明：设C(－3m，4m)(0 因为AC＝BD，所以OD＝OB－BD＝5m＋4， 所以D点的坐标为(5m＋4，0)． 又设△OCD的外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， ?F＝0， ?2 2 则有?9m＋16m－3mD＋4mE＋F＝0， ??（5m＋4）2＋（5m＋4）D＋F＝0， 解得D＝－(5m＋4)，F＝0，E＝－10m－3, 所以△OCD的外接圆的方程为x2＋y2－(5m＋4)x－(10m＋3)y＝0， 整理得x2＋y2－4x－3y－5m(x＋2y)＝0. 22???x＋y－4x－3y＝0，??x＝0，?x＝2，令?得?(舍)或? ?x＋2y＝0，?y＝0?y＝－1.???所以△OCD的外接圆恒过定点为(2，－1)． （考查直线的方程，圆的方程，圆过定点问题） 18.如图，某工业园区是半径为10 km的圆形区域，离园区中心O点5 km处有一中转站P，现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站，公路AB把园区分成两个区域． ** (1) 设中心O对公路AB的视角为α，求α的最小值，并求较小区域面积的最小值； ** (2) 为方便交通，准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD，求两条公路长度和的最小值． 解：(1) 如图1，作OH⊥AB，设垂足为H，记OH＝d，α＝2∠AOH， d 因为cos∠AOH＝，要使α有最小值，只需要d有最大值，结合图象可得 10 d≤OP＝5 km， 当且仅当AB⊥OP时，dmax＝5 km. π2π 此时αmin＝2∠AOH＝2×＝. 33 设AB把园区分成两个区域，其中较小区域面积记为S， 根据题意可得S＝f(α)＝S扇形－S△AOB＝50(α－sinα)， f′(α)＝50(1－cosα)≥0恒成立，f(α)为增函数， 2π2π3 所以Smin＝f??＝50?－? km2.(8分) ?3?2??3 2π2π3 答：视角的最小值是，较小区域面积的最小值是50?－? km2. 32??3 (2) 如图2，过O分别作OH⊥AB，OH1⊥CD，垂足分别是H，H1， 记OH＝d1，OH1＝d2，由(1)可知 d1∈[0，5]， 22 所以d21＋d2＝OP＝25，且 2 d22＝25－d1.(10分)