专题11：直线与圆、圆与圆

问题归类篇

类型一：圆的方程

一、前测回顾

1.经过三点A(4，3)，B(5，2)，C(1，0)的圆的方程为 ．

x2y2

2.一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴上，则该圆的标准方程为 ．

1643.已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y＝2x＋1上，若圆C与两个坐标轴都相切，则圆C的标准方程是 ______.

113251x＋?2＋?y－?2＝ 答案：1. x2＋y2－6x－2y＋5＝0 2. (x±) 2＋y2＝; 3. ??3??3?924

二、方法联想

求圆的方程

方法1：三点代入圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解D、E、F． 方法2：三角形两边的垂直平分线交点为圆心． 方法3：直角三角形外接圆的直径为斜边．

优先判断三角形是否为直角三角形，若为直角三角形，用方法3；若只涉及圆心，可用方法2；方法1可直接求出圆心和半径． 三、归类巩固

2

*1．在平面直角坐标系xOy中，已知点C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆过原点O,直线2x＋y－4＝0 与圆

tC交于M,N两点，若OM＝ON,则圆C的标准方程为 . ?利用直线OC与已知直线垂直求出圆心，利用线圆位置关系舍一解???答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5.?

?**2．在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)＝x2＋2x＋b的图象与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C，则C的方程是________．

(三点代入圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，求解D、E、F；设而不求法求外接圆方程) 答案： x2＋y2＋2x－( b＋1) y＋b＝0

***3．已知圆O：x2＋y2＝4，点M(4,0)，过原点的直线(不与 x 轴重合)与圆O交于A，B 两点，则△ABM的外接圆的面积的最小值为________． (求外接圆半径的最值) 25

答案：π

4

类型二：直线与圆相切问题

一、 前测回顾

1.过点P(1，0)作圆C： (x－4)2＋(y－2)2＝9的两条切线，切点分别为A、B，则切线方程为 ； 切线长PA为 ；直线AB的方程为 ．

2.经过点A(4，－1)，且与圆：x2＋y2＋2x－6y＋5＝0相切于点B(1，2)的圆的方程为 ． 3.圆C1:x2＋y2＝16与C2:(x－4)2+(y＋3)2＝r2(r>0)在交点处的切线互相垂直,则r＝ ． 答案：(1) x＝1或5x＋12y－5＝0；2；3x＋2y－7＝0． (2)(x－3)2＋(y－1)2＝5．(3)3 二、方法联想 相切问题 B(1) 位置判断：方法1：利用d＝r；方法2：在已知切点坐标的

C情况下，利用圆心和切点的连线与切线垂直．

PA

(2)如图，在Rt△PAC 中，切线长PA＝PC2－R2； 当圆外一点引两条切线时，

(1)P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆)，其中PC为直径； (2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程．

(3)PC为∠APB的平分线，且垂直平分线段AB． 三、归类巩固

*1．在平面直角坐标系xOy中，以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．

(已知直线与圆相切，圆心到直线的距离即为半径，求半径的最值；或者紧扣直线过定点解题) 答案：(x－1)2＋y2＝2．

**2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2＋(y－3)2＝2，点A是x轴上的一个动点，AP，AQ分别切圆C于P，Q两点，则线段PQ的长的取值范围是________．

(直线与圆相切时，利用所得到的直角三角形，向点与圆心的距离问题转化)

2

答案：[14,22)

3

**3 .已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A横坐标的取值范围是__________． (∠BAC最大时，直线与圆相切，转化为点与圆心的距离问题) 答案：[1，5]

***4.平面直角坐标系xOy中，点P在x轴上，从点P向圆C1：x2＋(y－3)2＝5引切线，切线长为d1，从点P向圆C2：(x－5)2＋(y＋4)2＝7引切线，切线长为d2，则d1＋d2的最小值为_____．

(求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题)

答案：52

解：设点P(x，0)，则

d1＝x2＋(－3)2－5，d2＝(x－5)2＋42－7，d1＋d2＝x2＋4＋(x－5)2＋9， 几何意义：点P(x，0)到点M(0，2)，N(5，－3)的距离和．

当M，P，N三点共线时，d1＋d2有最小值52，此时P(2，0) 类型三：直线与圆的相交问题 一、 前测回顾

1.已知过定点P(1，2)的直线l交圆O：x2＋y2＝9于A，B两点，若AB＝42，则直线l的方程为 ； 当P为线段AB的中点时，则直线l的方程为 ． 2.已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(－1，4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为 ．

答案：1.x＝1或3x－4y＋5＝0；x＋2y－5＝0．2.30;

二、方法联想 相交弦问题

直线与圆的位置关系判断方法： 代数法和几何法.

(1) 圆心角θ、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式．

θLθL

如：()2＋d2＝R2，d＝Rcos，＝Rsin．

2222

(2)相交弦的垂直平分线过圆心．

(3)过圆内一定点，最长的弦为直径，最短的弦与过定点的直径垂直． 三、归类巩固

*1.直线l1：y＝kx＋3与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M，N两点，若MN≥23，则k的的取值范

围是________．

(已知弦长范围，求参数取值范围)

33

答案： [－,]

33

*2.过点P(－4,0)的直线l与圆C：(x－1)2＋y2＝5相交于A,B两点,若点A恰好是线段PB的中点，则直

线l的方程为________．

(已知弦的性质，求直线方程) 答案：x±3y＋4＝0

**3.已知直线l：mx＋y＋3m－3＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线交x轴于C，D两点，若AB＝23，则CD＝ ． (已知弦长，求直线方程及有关量的取值) 答案：4

***4.在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x＋1)2＋(y－6)2＝25，圆C2：(x－17)2＋(y－30)2＝r2.若圆C2上存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A，B，满足PA＝2AB，则半径r的取值范围是________．

(已知两弦长关系求参数范围问题) 答案：[5，55]

类型四：圆上点到直线或点的距离问题

一、 前测回顾

1.已知实数x,y满足x2＋y2＝4， 则(x－3)2＋(y－4)2的范围是 .

2.圆C：x2＋(y－2)2＝R2(R＞0)上恰好存在2个点，它到直线y＝3x－2上的距离为1，则R的取值范围为 ．

答案：1. [9，49]; 2.1＜R＜3． 二、方法联想 A 圆上的点到直线的距离

C (1)当直线与圆相离时，

圆上点到直线距离，在点A处取到最大值d＋R，在点B取到最小值d－R．

B(2)当直线与圆；在圆外时，圆上的点到点的最大距离是d＋R，最小距离是d－R．

(1) 当点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是d＋R，最小距离是R－d. 圆上的点到点的距离

(1)当已知点在圆外时，

圆上点到已知点距离最大值d＋R，最小值d－R．

(2) 当已知点在圆内时，圆上的点到点的最大距离是d＋R，最小距离是R－d. 三、 归类巩固 *1.在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c的取值范围是 .

答案：（－13，13）

(已知圆上点到直线距离求参数范围)

**2.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5?，圆C与y轴交于点O,B，其中O为原点．设P为直线l:x＋y＋2＝0上的动点，Q为圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．?

42

答案：PB+PQ的最小值为25,此时P点坐标为(－，－) 33?考查点圆距离与点线距离的综合问题??

类型五：两圆的位置关系问题

一、 前测回顾

1.已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0和圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若两圆相交，实数

m的取值范围为 ．

2.已知圆O1：x2＋y2－4x－2y－4＝0，圆O2：x2＋y2－6x＋2y＋6＝0，则两圆的公共弦长度为 ．

答案：1.－5＜m＜－2或－1＜m＜2;2.4．

二、方法联想

两圆位置关系问题 位置关系 外离 外切 相交 内切 内含 d与r1，r2的关系 d＞r1＋r2 d＝r1＋r2 |r1－r2|＜d＜r1＋r2 d＝|r1－r2| 0＜d＜|r1－r2| 公切线条数 4 3 2 1 0 两圆相交问题

(1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程．

(2)两圆相交时，两圆圆心的连线垂直平分公共弦． 两圆相切问题

两圆相切时，两圆圆心的连线过两圆的切点． 三、归类巩固

*1. 若两点A(1，0)，B(3，23)到直线l的距离均等于1，则直线l的方程为 ． (转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段A B平行和过线段A B中点两种情况) 答案：3x－y ＋2－3＝0或3x－y －2－3＝0或x－3y＋1＝0或x－2＝0.

**2.在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝9，直线l：y＝kx＋3与圆C相交于A，B两点，M为弦AB上一动点，以M为圆心，2为半径的圆与圆C总有公共点，则实数k的取值范围为________．

(已知两圆位置关系，求参数取值范围) 3

答案：[－,＋∞)

4

***3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O：x2＋y2＝1，O1：(x－4)2＋y2＝4，动点P在直线x＋3y－b＝0上，过P分别作圆O，O1的切线，切点分别为A，B，若满足PB＝2PA的点P有且只有两个，则实数b的取值范围是________．

(已知两圆切线长的关系，求参数取值范围) 20

答案： (－,4)

3

综合应用篇

一、例题分析

例1．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C上一点P（0，2）到椭圆C的右焦点的距离为6． *（1）求椭圆C的方程；

***（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．