2因为AB＝2100－d21，CD＝2100－d2，
2所以AB＋CD＝2(100－d21＋100－d2)
2＝2(100－d21＋75＋d1)，(11分)
2记L(d1)＝AB＋CD＝2(100－d21＋75＋d1)，
2可得L2(d1)＝4[175＋2（100－d21）（75＋d1）]，
222
由d21∈[0，25]，可得d1＝0，或d1＝25时，L(d1)的最小值是100(7＋43)， 从而AB＋CD的最小值是20＋103 km.
答：两条公路长度和的最小值是20＋103 km.
（考查圆的垂径定理，圆的几何性质，弓形面积求法，函数的最值的求法等等）
x2y2
19.在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，
ab
一条准线方程为x＝2.P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q.
*(1) 求椭圆C的方程；
*(2) 若点P的坐标为(0，b)，求过P、Q、F2三点的圆的方程；
1?→→→→
，2，求OP·OQ的最大值． ** (3) 若F1P＝λQF1，且λ∈??2?
2c＝2，??2
解：(1) 由题意得?a解得c＝1，a2＝2，
??c＝2，
所以b2＝a2－c2＝1.
x22
所以椭圆的方程为＋y＝1.
2
(2) 因为P(0，1)，F1(－1，0)，所以PF1的方程为x－y＋1＝0.
x－y＋1＝0，??2由?x 2
＋y＝1，??2
4x＝－，?3?x＝0，
解得?或
1?y＝1，?
y＝－，
341－，－?. 所以点Q的坐标为?3??3
(解法1)因为kPF1·kPF2＝－1，所以△PQF2为直角三角形．
1152－，－?，QF2＝因为QF2的中点为?， 6??631?2?1?225?所以圆的方程为?x＋6?＋?y＋6?＝.
18
(解法2)设过P、Q、F2三点的圆为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
1＋E＋F＝0，
???
??1＋D＋F＝0，则?
1741－D－??933E＋F＝0，
??1解得?E＝3，
4?F＝－?3.
114
所以圆的方程为x2＋y2＋x＋y－＝0.
333
(3) 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则
1D＝，3
→→
F1P＝(x1＋1，y1)，QF1＝(－1－x2，－y2)．
→→因为F1P＝λQF1，
??x1＋1＝λ（－1－x2），所以?
?y1＝－λy2，???x1＝－1－λ－λx2，即? ?y1＝－λy2，?
（－1－λ－λx2）222
＋λy2＝1，
2
所以2
x22
＋y2＝1，2
1－3λ
解得x2＝. 2λ→→
所以OP·OQ＝x1x2＋y1y2＝x2(－1－λ－λx2)－λy22
λ＝－x2－(1＋λ)x2－λ
22
1－3λλ?1－3λ?2
＝－－(1＋λ)·－λ
2?2λ?2λ
175
λ＋?.(14分) ＝－?48?λ?1?
因为λ∈??2，2?，
111
所以λ＋≥2λ·＝2，当且仅当λ＝，即λ＝1时取等号．
λλλ
1→→1→→
所以OP·OQ≤，即OP·OQ的最大值为.
22
（考查椭圆方程，圆的方程，向量的坐标运算，函数最值）
???
20． 已知以点A(－1，2)为圆心的圆与直线l1：x＋2y＋7＝0相切．过点B(－2，0)的动直线l与圆A相交
于M，N两点，Q是MN的中点，直线l与l1相交于点P． *(1)求圆A的方程；
*(2)当MN＝219时，求直线l的方程；
→→** (3)BQ·BP是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由． 答案：(1) (x＋1)2＋(y－2)2＝20； (2) x＝－2或3x－4y＋6＝0；
→→
(3) BQ·BP为定值－5．
(考查求圆的方程，割线方程，弦长问题及定值问题)古今中外有学问的人，有成就的人，总是
十分注意积累的。知识就是机积累起来的，经验也是积累起来的。我们对什么事情都不应该像“过眼云烟”。
学习知识要善于思考，思考，再思考。——爱因斯坦
镜破不改光，兰死不改香。——孟郊
生活的全部意义在于无穷地探索尚未知道的东西，在于不断地增加更多的知识。—
做学问的功夫，是细嚼慢咽的功夫。好比吃饭一样，要嚼得烂，方好消化，才会对人体有益。——陶铸
研卷知古今；藏书教子孙。——《对联集锦》
凡事豫（预）则立，不豫（预）则废。——《礼记》
知识是珍贵宝石的结晶，文化是宝石放出来的光泽。——泰戈尔
你是一个积极向上，有自信心的孩子。学习上有计划、有目标，能够合理安排自己的时间，学习状态挺好；心态平和，关心、帮助同学，关心班集体，积极参加班级、学校组织的各项活动，具有较强的劳动观念，积极参加体育活动，尊敬师长。希望你再接再厉，不满足于现状，争取做的更好。