3-8 一宇航员要到离地球为5光年的星球去旅行．如果宇航员希望把这路程缩短为3光年，则他所乘的火箭相对于地球的速度是多少?
3l??3?l01??2?51??2,则?1??25解:
v?1?∴
3-9 论证以下结论：在某个惯性系中有两个事件同时发生在不同地点，在有相对运动的其他惯性系中，这两个事件一定不同时．
证: 设在S系A、B事件在a,b处同时发生，则得
94c?c255
?x?xb?xa,?t?tA?tB，在S?系中测
v?x)2c
??t??t?B?tA??(?t?? ?t?0,?x?0，
?t??0 ∴
即不同时发生．
3-10 试证明：
(1)如果两个事件在某惯性系中是同一地点发生的，则对一切惯性系来说这两个事件的时间间隔，只有在此惯性系中最短．
(2)如果两个事件在某惯性系中是同时发生的，则对一切惯性关系来说这两个事件的空间间隔，只有在此惯性系中最短．
解: (1)如果在S?系中，两事件A、B在同一地点发生，则?x??0，在S系中，
?t???t???t?，仅当v?0时，等式成立，∴?t?最短．
(2)若在S?系中同时发生，即?t??0，则在S系中，?x???x???x?，仅当v?0时等式成立，∴S?系中?x?最短．
3-11 根据天文观测和推算，宇宙正在膨胀，太空中的天体都远离我们而去．假定地球上观察到一颗脉冲星(发出周期无线电波的星)的脉冲周期为 0.50s，且这颗星正沿观察方向以速度0.8c离我们而去．问这颗星的固有周期为多少? 解: 以脉冲星为S?系，?x??0，固有周期
?t???0.地球为S系，则有运动时?t1???t?，
这里?t1不是地球上某点观测到的周期，而是以地球为参考系的两异地钟读数之差．还要考
v?t1虑因飞行远离信号的传递时间，c
v?t1v?t??t1????t????tcc∴ ′ v???t?(1?)c
11???0.8c20.61?()c
?t0.5?0??t???v0.8c?(1?)(1?)?cc则
?0.5(1?0.8)10.6?0.3?0.1666s1.8
3-12 6000m 的高空大气层中产生了一个?介子以速度v=0.998c飞向地球．假定该?介子
-6
在其自身静止系中的寿命等于其平均寿命2×10s．试分别从下面两个角度，即地球上的观测者和?介子静止系中观测者来判断?介子能否到达地球．
?6?t?2?10s是固有(本征)时间，对地球观测者，?0解: 介子在其自身静止系中的寿命
由于时间膨胀效应，其寿命延长了．衰变前经历的时间为
v21?2c这段时间飞行距离为d?v?t?9470m 因d?6000m，故该?介子能到达地球．
d??v?t0?599m
?t??t0?3.16?10?5s
或在?介子静止系中，?介子是静止的．地球则以速度v接近介子，在近的距离为
?t0时间内，地球接
d0?6000m经洛仑兹收缩后的值为：
??d0d0?d??d0，故?介子能到达地球．
v21?2?379mc
3-13 设物体相对S′系沿x?轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也
是0.8c，问物体相对S系的速度是多少?
v??0.8c
解: 根据速度合成定理，u?0.8c,xv??u0.8c?0.8cvx?x??0.98cuv?0.8c?0.8c1?2x1?c2c∴
3-14 飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方
向飞行．当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在B飞船的观测者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少?
解: 取B为S系，地球为S?系，自西向东为x(x?)轴正向，则A对S?系的速度
v?x?0.8c，
S?系对S系的速度为u?0.6c，则A对S系(B船)的速度为
v??u0.8c?0.6cvx?x??0.946cuv?1?0.481?2xc
发射弹是从A的同一点发出，其时间间隔为固有时?t??2s，
题3-14图
∴B中测得的时间间隔为：
?t??t?1?vc2x2?21?0.9462?6.17s
3-15 (1)火箭A和B分别以0.8c和0.6c的速度相对地球向+x和-x方向飞行．试求由火箭B测得A的速度．(2)若火箭A相对地球以0.8c的速度向+y方向运动，火箭B的速度不变，求A相对B的速度．
解: (1)如图a，取地球为S系，B为S?系，则S?相对S的速度u?0.6c，火箭A相对S的速度
vx?0.8c，则A相对S?(B)的速度为：
v?x?vx?u0.8c?(?0.6c)??0.946cu(?0.6c)(0.8c)1?2vx1?cc2
v??0.6c，
或者取A为S?系，则u?0.8c，B相对S系的速度x于是B相对A的速度为： vx?u?0.6c?0.8c???0.946cu(0.8c)(?0.6c)1?2vx1?cc2
(2)如图b，取地球为S系，火箭B为S?系，S?系相对S系沿?x方向运动，速度
vx?0vy?0.8cu??0.6cASABv?x?，
对
系的速度为,
,
,由洛仑兹变换式
相对
的速度为：
v?x?vx?u0?(?0.6c)??0.6cu1?01?2vxc
∴A相对B的速度大小为 速度与x?轴的夹角??为
u21?2vycv??1?0.62(0.8c)?0.64cy?u1?2vxc
2?2v??v?x?vy?0.88c
tan????1.07v?x
ο???46.8
v?y题3-15图
3-16 静止在S系中的观测者测得一光子沿与x轴成60?角的方向飞行．另一观测者静止于S′系，S′系的x?轴与x轴一致，并以0.6c的速度沿x方向运动．试问S′系中的观测者
观测到的光子运动方向如何? 解: S系中光子运动速度的分量为
vx?ccos60ο?0.500c
vy?csin60ο?0.866c由速度变换公式，光子在S?系中的速度分量为
v?x?vx?u0.5c?0.6c???0.143cu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2
u21?2vy1?0.62?0.866ccv?y???0.990cu0.6c?0.5c1?2vx1?cc2
光子运动方向与x?轴的夹角??满足
tan???v?yv?x??0.692
??在第二象限为???98.2
在S?系中，光子的运动速度为
正是光速不变．
3-17 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c加速到0.9c，又须对它作多少功?
解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得
2?2v??v?x?vy?cο?Ek?Ek?mc2?m0c2?m0c2(??1)?m0c2(1211?vc22?1)
?9.1?10?31?(3?108)2(1?0.1?4.12?10?16J=2.57?103eV
11??1)
(2)
??Ek?Ek?(m2c2?m0c2)?(m1c2?m0c2)?Ek21?m2c2?m1c2?m0c2(vc1222
vc) 1?9.1?10?31?32?1016(?)221?0.91?0.8
?5.14?10?14J?3.21?105eV
1?3-18 ?子静止质量是电子静止质量的207倍，静止时的平均寿命0=2×10s，若它在实验
-6
室参考系中的平均寿命?= 7×10s，试问其质量是电子静止质量的多少倍?
-6
?1212)?解: 设?子静止质量为m0，相对实验室参考系的速度为v??c，相应质量为m，电子静
m止质量为0e，因
???01??2,即11??2??7??02
由质速关系，在实验室参考系中质量为：