大学物理学课后习题答案 赵近芳 全

能零点,则有

11mv2?MV222

又下滑过程,动量守恒,以m,M为系统则在m脱离M瞬间,水平方向有

mv?MV?0

mgR?联立,以上两式,得

v?2MgR?m?M?

2-20 一个小球与一质量相等的静止小球发生非对心弹性碰撞,试证碰后两小球的运动方向互相垂直.

证: 两小球碰撞过程中,机械能守恒,有

11122mv0?mv12?mv2222

222即 v0?v1?v2 ①

题2-20图(a) 题2-20图(b) 又碰撞过程中,动量守恒,即有

???mv0?mv1?mv2 ???v?v1?v2 ②

亦即 0?v由②可作出矢量三角形如图(b),又由①式可知三矢量之间满足勾股定理,且以0为斜边,

??v故知1与v2是互相垂直的.

???v?vi?vxyj, 质点受到一个沿x负方向2-21 一质量为m的质点位于(x1,y1)处,速度为

的力f的作用,求相对于坐标原点的角动量以及作用于质点上的力的力矩.

解: 由题知,质点的位矢为 作用在质点上的力为 所以,质点对原点的角动量为

???r?x1i?y1j ??f??fi

???L0?r?mv

?????(x1i?y1i)?m(vxi?vyj) ??(x1mvy?y1mvx)k

作用在质点上的力的力矩为

???????M0?r?f?(x1i?y1j)?(?fi)?y1fk

10

2-22 哈雷彗星绕太阳运动的轨道是一个椭圆.它离太阳最近距离为r1=8.75×10m 时的速

率是v1=5.46×10m·s,它离太阳最远时的速率是v2=9.08×10m·s这时它离太

4

-1

2

-1

阳的距离r2多少?(太阳位于椭圆的一个焦点。) 解: 哈雷彗星绕太阳运动时受到太阳的引力——即有心力的作用,所以角动量守恒;又由于

哈雷彗星在近日点及远日点时的速度都与轨道半径垂直,故有

1?r2mv2 r1mvr1v18.75?1010?5.46?10412r2???5.26?10m2v29.08?10∴

???????1?2-23 物体质量为3kg,t=0时位于r?4im, v?i?6jm?s,如一恒力f?5jN作用在物体上,求3秒后,(1)物体动量的变化;(2)相对z轴角动量的变化.

??3???p??fdt??5jdt?15jkg?m?s?1 解: (1)

0

(2)解(一)

x?x0?v0xt?4?3?7

115y?v0yt?at2?6?3???32?25.5j22?3 ????即 r1?4i,r2?7i?25.5j

vx?v0x?1

5vy?v0y?at?6??3?11??3?? ??即 v1?i1?6j,v2?i?11j

???????∴ L1?r1?mv1?4i?3(i?6j)?72k

????????L2?r2?mv2?(7i?25.5j)?3(i?11j)?154.5k

????2?1?L?L?L?82.5kkg?m?s21∴

M?解(二) ∵

dzdt

??t?t??L??M?dt??(r?F)dt003

?152???????(4?t)i?(6t?)?t)j??5jdt023????3??5(4?t)kdt?82.5kkg?m2?s?10

题2-24图

2-24 平板中央开一小孔,质量为m的小球用细线系住,细线穿过小孔后挂一质量为M1的重物.小球作匀速圆周运动,当半径为

r0时重物达到平衡.

今在M1的下方再挂一质量为M2的物体,如题2-24图.试问这时小球作匀速圆周运动的角速度??和半径r?为多少? 解: 在只挂重物时M1,小球作圆周运动的向心力为M1g,即

M1g?mr0?0挂上M2后,则有

2

(M1?M2)g?mr???重力对圆心的力矩为零,故小球对圆心的角动量守恒. 即 联立①、②、③得

2

r0mv0?r?mv?

?r02?0?r?2?? ③

?0????r??M1gmr0M1gM1?M23()mrM102M1?M2g?m??M1?r0M1?M22-25 飞轮的质量m=60kg,半径R=0.25m,绕其水平中心轴O转动,转速为

-1

900rev·min.现利用一制动的闸杆,在闸杆的一端加一竖直方向的制动力F,可使飞轮减速.已知闸杆的尺寸如题2-25图所示,闸瓦与飞轮之间的摩擦系数?=0.4,飞轮的转动惯量可按匀质圆盘计算.试求:

(1)设F=100 N,问可使飞轮在多长时间内停止转动?在这段时间里飞轮转了几转? (2)如果在2s内飞轮转速减少一半,需加多大的力F?

解: (1)先作闸杆和飞轮的受力分析图(如图(b)).图中N、N?是正压力,Fr、Fr?是摩擦力,

Fx和Fy是杆在A点转轴处所受支承力,R是轮的重力,P是轮在O轴处所受支承力.

题2-25图(a)

题2-25图(b)

杆处于静止状态,所以对A点的合力矩应为零,设闸瓦厚度不计,则有

l1?l2Fl1

对飞轮,按转动定律有???FrR/I,式中负号表示?与角速度?方向相反. ∵ Fr??N N?N?

F(l1?l2)?N?l1?0N??Fr??N???∴

l1?l2Fl1

又∵

I?1mR2,2

???∴ 以F?100N等代入上式,得

FrR?2?(l1?l2)?FImRl1 ①

??由此可算出自施加制动闸开始到飞轮停止转动的时间为

?2?0.40?(0.50?0.75)40?100??rad?s?260?0.25?0.503

t??这段时间内飞轮的角位移为

?0900?2??3??7.06s?60?40

1900?2?91409?????(?)22604234?53.1?2?rad

可知在这段时间里,飞轮转了53.1转.

2??0?900?rad?s?160(2),要求飞轮转速在t?2s内减少一半,可知

???0t??t2??0??2??0t???02t??用上面式(1)所示的关系,可求出所需的制动力为

15?rad?s?22

F???mRl1?2?(l1?l2)2-26 固定在一起的两个同轴均匀圆柱体可绕其光滑的水平对称轴OO?转动.设大小圆柱体的半径分别为R和r,质量分别为M和m.绕在两柱体上的细绳分别与物体m1和m2相连,

60?0.25?0.50?15?2?0.40?(0.50?0.75)?2?177N

m1和m2则挂在圆柱体的两侧,如题2-26图所示.设R=0.20m, r=0.10m,m=4 kg,

M=10 kg,m1=m2=2 kg,且开始时m1,m2离地均为h=2m.求:

(1)柱体转动时的角加速度;

(2)两侧细绳的张力.

解: 设a1,a2和β分别为m1,m2和柱体的加速度及角加速度,方向如图(如图b).

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