大学物理学课后习题答案 赵近芳 全

mvsin?21[(m?m0)R2][00]Ek2(m?m0)Rm0sin2???1Ek0m?m02m0v02(2)

2-32 弹簧、定滑轮和物体的连接如题2-32图所示,弹簧的劲度系数为2.0 N·m;定滑轮

2

的转动惯量是0.5kg·m,半径为0.30m ,问当6.0 kg质量的物体落下0.40m 时,它的速率为多大? 假设开始时物体静止而弹簧无伸长.

解: 以重物、滑轮、弹簧、地球为一系统,重物下落的过程中,机械能守恒,以最低点为重力势能零点,弹簧原长为弹性势能零点,则有

-1

111mv2?I?2?kh2222

又 ??v/R

mgh?(2mgh?kh2)k2v?mR2?I故有

(2?6.0?9.8?0.4?2.0?0.42)?0.32?6.0?0.32?0.5?2.0m?s?1

题2-32图 题2-33图

2-33 空心圆环可绕竖直轴AC自由转动,如题2-33图所示,其转动惯量为初始角速度为

I0,

环半径为R,

?0.

质量为m的小球,原来静置于A点,由于微小的干扰,小球向下滑动.设

圆环内壁是光滑的,问小球滑到B点与C点时,小球相对于环的速率各为多少?

解: (1)小球与圆环系统对竖直轴的角动量守恒,当小球滑至B点时,有

I0?0?(I0?mR2)? ①

该系统在转动过程中,机械能守恒,设小球相对于圆环的速率为vB,以B点为重力势能零点,则有

11122I0?0?mgR?(I0?mR2)?2?mvB222 ②

联立①、②两式,得

22I0?0RvB?2gR?I0?mR2

(2)当小球滑至C点时,∵故由机械能守恒,有

Ic?I0 ∴?c??0

mg(2R)?1mvc22

∴ vc?2gR

请读者求出上述两种情况下,小球对地速度.

习题三

3-1 惯性系S′相对惯性系S以速度u运动.当它们的坐标原点O与O?重合时,t=t?=0,发出一光波,此后两惯性系的观测者观测该光波的波阵面形状如何?用直角坐标系写出各自观测的波阵面的方程.

解: 由于时间和空间都是均匀的,根据光速不变原理,光讯号为球面波.波阵面方程为:

x2?y2?z2?(ct)2 x?2?y?2?z?2?(ct?)2

题3-1图

3-2 设图3-4中车厢上观测者测得前后门距离为2l.试用洛仑兹变换计算地面上的观测者测到同一光信号到达前、后门的时间差.

l?,t1?)?(l,)(x1c,在车站(S)系:解: 设光讯号到达前门为事件1,在车厢(S?)系时空坐标为

ulu?lu??2x1?)??(?2l)?(1?)t1??(t1cccc cl?,t2?)?(?l,)(x2c,在车站(S)系: 光信号到达后门为事件2,则在车厢(S?)系坐标为

u?lu??2x2?)?(1?)t2??(t2cc c?lut2?t1??22c 于是

????或者 ?t?0,?t?t1?t2,?x?x1?x2?2l

?t??(?t??uu??x)??(2l)c2c2

4

-4

3-3 惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动,取两坐标原点重合时刻作为计时起点.在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=6×10m,t1=2×10s,以及x2=12×10m,t2=1×10s.已知在S′系中测得该两事件同时发生.试问:(1)S′系相对S系的速

4

-4

度是多少? (2) S?系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设(S?)相对S的速度为v, (1)

???(t1?t1vx1)c2

vx2)c2

??t1??0 由题意 t2vt2?t1?2(x2?x1)c则

???(t2?t2t2?t1c????1.5?108x2?x12m?s?1 故

???(x1?vt1),x2???(x2?vt2) (2)由洛仑兹变换 x1v?c24??x?x?5.2?10m 1代入数值, 2′l3-4 长度0=1 m的米尺静止于S′系中,与x轴的夹角?'=30°,S′系相对S系沿x轴?运动,在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为??45. 试求:(1)S′系和S系的相对运动速度.(2)S系中测得的米尺长度.

解: (1)米尺相对S?静止,它在x?,y?轴上的投影分别为:

?L0sin???0.5m??L0cos???0.866mL?Lx,y

米尺相对S沿x方向运动,设速度为v,对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩,而y方

向的长度不变,即

v2?1?2,Ly?L?Lx?Lxyc

LyL?L?yytan????LxLxv2?1?2Lxc 故

?,L?y??45οLx把

代入

v20.51?2?0.866 c则得

故 v?0.816c

?0.707msin45? ll3-5 一门宽为a,今有一固有长度0(0>a)的水平细杆,在门外贴近门的平面内沿其长度

(2)在S系中测得米尺长度为

方向匀速运动.若站在门外的观察者认为此杆的两端可同时被拉进此门,则该杆相对于门的

运动速率u至少为多少?

L?Lyul?l01?()2c,当1?a时,可认为能被拉进门,解: 门外观测者测得杆长为运动长度,

ua?l01?()2c 则

au?c1?()2l0解得杆的运动速率至少为:

题3-6图

3-6两个惯性系中的观察者O和O?以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近,如果O测得两者的初始距离是20m,则O?测得两者经过多少时间相遇? 解: O测得相遇时间为?t

?t?O? 测得的是固有时?t?

L020?v0.6c

L01??2?t????v∴

?8?8.89?10s, 

?t??v?0.6c , 1??0.8 ,

Lv

或者,O?测得长度收缩,

L?L01??2?L01?0.62?0.8L0,?t??0.8L00.8?20?8??8.89?10s80.6c0.6?3?10

3-7 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S?中,甲测得在同一地点发生的两事件的

?t??时间间隔为 4s,而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s.求: (1) S?相对于S的运动速度.

(2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离.

???解: 甲测得?t?4s,?x?0,乙测得?t?5s,坐标差为?x?x2?x1′

?t???(?t?(1)∴

v?x)???tc21v1?()2c?t

v2?t41?2???t?5 c?

?t43v?c1?()2?c1?()2?c?t?55 解出

?1.8?108 m?s?1

?t?5?x?????x?v?t?,???,?x?0?t4(2) 53?x????v?t???c?4??3c??9?108m45∴

??负号表示x2?x1?0.

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