r?8cm时，?q?p4π333(r?r内)
4π32r?r内3E?4π?0r2?3.48?104N?C?1， 方向沿半径向外． ∴
4π3q??3?3(r外?r内）r?12cm时,
????E?∴
4π33r外?r内43?4.10?10?1 4π?0r2 N?C沿半径向外.
??8-11 半径为R1和R2(R2＞R1)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量?和-?,试求:(1)r＜R1；(2) R1＜r＜R2；(3) r＞R2处各点的场强．
解: 高斯定理
???qE??dS?s?0
???E?dS?E2πrlS取同轴圆柱形高斯面，侧面积S?2πrl 则
对(1) r?R1 (2) R1?q?0,E?0
?r?R ?q?l?
2
?2π?0r 沿径向向外 ∴
q?0(3) r?R2 ?
E?∴ E?0
题8-12图
8-12 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为?1和?2，试求空间各处场强．
解: 如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为?1与?2，
?1?E?(?1??2)n2?0两面间，
?1?E??(?1??2)n2?0?1面外， ?1?E?(?1??2)n2?0?2面外，
?n：垂直于两平面由?1面指为?2面．
8-13 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为?,若在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O与O?点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．
解: 将此带电体看作带正电?的均匀球与带电??的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．
?(1) ??球在O点产生电场E10?0，
43πr??3E20?OO'34π?d?? 0球在O点产生电场
?r3?E0?OO'33?d0∴ O点电场；
43?d??E10??3OO'34π?d??0(2) 在O?产生电场 ???球在O?产生电场E20??0
??E0??3?0OO' ∴ O? 点电场
题8-13图(a) 题8-13图(b)
(3)设空腔任一点P相对O?的位矢为r?，相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)
?????rEPO?3?0， 则
???r?EPO???3?0,
?????????dEP?EPO?EPO??(r?r?)?OO'?3?03?03?0 ∴
∴腔内场强是均匀的．
-6
8-14 一电偶极子由q=1.0×10C的两个异号点电荷组成，两电荷距离d=0.2cm，把这电
5-1
偶极子放在1.0×10N·C的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最大力矩．
??p解: ∵ 电偶极子在外场E中受力矩
???M?p?E
M?pE?qlE代入数字 ∴ maxMmax?1.0?10?6?2?10?3?1.0?105?2.0?10?4N?m
-8-8
8-15 两点电荷q1=1.5×10C，q2=3.0×10C，相距r1=42cm，要把它们之间的距离变为
r2=25cm，需作多少功?
??r2qqdrqq11A??F?dr??122?12(?)r1r24π?0r4π?0r1r2 解:
??6.55?10?6J
?6外力需作的功 A???A??6.55?10 J
r2
题8-16图
8-16 如题8-16图所示，在A，B两点处放有电量分别为+q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷功．
解: 如题8-16图示
q0从O点经过半圆弧移到C点，求移动过程中电场力作的
1qq(?)?04π?0RR 1qq??qUO?(?)4π?03RR6π?0R
qqA?q0(UO?UC)?o6π?0R ∴
UO?8-17 如题8-17图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为?的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消，取
dl?Rd?
?dq??Rd?OdE则产生点如图，由于对称性，O点场强沿y轴负方向
题8-17图
E??dEy??2???sin(?)?sin4π?0R［22］ ???2π?0R
(2) AB电荷在O点产生电势，以U??0
2R?dx?dx????ln2B4π?xR4π?x4π?000
?U2?ln24π?0同理CD产生
?Rd?cos??4π?R202 ???U1??AU3?半圆环产生
πR???4π?0R4?0
UO?U1?U2?U3?∴
4-1
8-18 一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×10m·s的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量
??ln2?2π?04?0
m0=9.1×10-31kg，电子电量e=1.60×10-19C)
解: 设均匀带电直线电荷密度为?，在电子轨道处场强
?2π?0r
e?Fe?eE?2π?0r 电子受力大小
e?v2?mr ∴ 2π?0rE?2π?0mv2???12.5?10?13C?m?1 e得
8-19 空气可以承受的场强的最大值为E=30kV·cm，超过这个数值时空气要发生火花放
-1
电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d=0.5cm，求此电容器可承受的最高电压．
解: 平行板电容器内部近似为均匀电场
4∴ U?Ed?1.5?10V
??8-20 根据场强E与电势U的关系E???U，求下列电场的场强：(1)点电荷q的电场；(2)总电量为q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子p?ql的r??l处(见题
8-20图)．
U?解: (1)点电荷
q4π?0r
题 8-20 图
??U?q?E??r0?r?20r?r4π?r0∴ 0为r方向单位矢量．
(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势
4π?0R2?x2
???U?qxE??i?i223/2?x4π?R?x0∴
??p(3)偶极子?ql在r??l处的一点电势
q11qlcos?U?[?]?ll4π?04π?0r2(r?cos?)(1?cos?)22
?Upcos?Er???3?r2π?r0∴
U?q??