∵四边形ABCD是正方形， ∴QH=BC=AB=3． ∵BP=2PC， ∴BP=2，PC=1， ∴BQ=AP=∴BH=
==
==2．
，
∵四边形ABCD是正方形， ∴DC∥AB， ∴∠CQB=∠QBA．
由折叠可得∠C′QB=∠CQB， ∴∠QBA=∠C′QB， ∴MQ=MB．
设QM=x，则有MB=x，MH=x﹣2． 在Rt△MHQ中，
222
根据勾股定理可得x=（x﹣2）+3， 解得x=
．
；
∴QM的长为
（3）过点Q作QH⊥AB于H，如图． ∵四边形ABCD是正方形，BP=m，PC=n， ∴QH=BC=AB=m+n． ∴BQ=AP=AB+PB，
∴BH=BQ﹣QH=AB+PB﹣AB=PB， ∴BH=PB=m．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
设QM=x，则有MB=QM=x，MH=x﹣m． 在Rt△MHQ中，
222
根据勾股定理可得x=（x﹣m）+（m+n）， 解得x=m+n+
，
﹣m﹣n=
．
∴AM=MB﹣AB=m+n+∴AM的长为
．
点评： 本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、轴对称的性质等知识，设未知数，然后运用勾股定理建立方程，是求线段长度常用的方法，应熟练掌握．
26．（10分）如图，抛物线y=ax+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），与y轴交于点C． （1）求此抛物线的解析式；
（2）以点A为圆心，作与直线BC相切的⊙A，求⊙A的半径；
（3）在直线BC上方的抛物线上任取一点P，连接PB，PC，请问：△PBC的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值的此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．
2
考点： 二次函数综合题．
分析： （1）把A、B两点分别代入抛物线解析可求得a和b，可求得抛物线解析式； （2）过A作AD⊥BC于点D，则AD为⊙A的半径，由条件可证明△ABD∽△CBO，利用相似三角形的性质可求得AD的长，可求得半径；
（3）由待定系数法可求得直线BC解析式，过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，可设出P、Q的坐标，可表示出△PQC和△PQB的面积，可表示出△PBC的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，容易求得P点坐标．
解答： 解：（1）∵抛物线y=ax+bx﹣经过点A（1，0）和点B（5，0），
2
∴把A、B两点坐标代入可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x+2x﹣； （2）过A作AD⊥BC于点D，如图1，
2
∵⊙A与BC相切， ∴AD为⊙A的半径，
由（1）可知C（0，﹣），且A（1，0），B（5，0）， ∴OB=5，AB=OB﹣OA=4，OC=， 在Rt△OBC中，由勾股定理可得BC=∵∠ADB=∠BOC=90°，∠ABD=∠CBO， ∴△ABD∽△CBO， ∴
=
，即
=
，解得AD=
，
=
=
，
即⊙A的半径为；
（3）∵C（0，﹣），
∴可设直线BC解析式为y=kx﹣， 把B点坐标代入可求得k=，
∴直线BC的解析式为y=x﹣，
过P作PQ∥y轴，交直线BC于点Q，交x轴于点E，如图2，
设P（x，﹣x+2x﹣），则Q（x，x﹣），
∴PQ=（﹣x+2x﹣）﹣（x﹣）=﹣x+x=﹣（x﹣）+
2
2
2
2
，
∴S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ?OE+PQ?BE=PQ（OE+BE）=PQ?OB=PQ=﹣（x﹣）
2
+，
，此时P点坐标为（，），
∴当x=时，S△PBC有最大值
∴当P点坐标为（，）时，△PBC的面积有最大值．
点评： 本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、切线的性质、相似三角形的判定和性质、二次函数的性质等知识．在（1）中注意待定系数法的应用步骤，在（2）中确定出⊙A的半径是解题的关键，在（3）中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，计算量大，综合性较强．