22．1.1 二次函数

01 基础题

知识点1 二次函数的定义

1．(兰州中考)下列函数解析式中，一定为二次函数的是(C)

A．y＝3x－1 B．y＝ax2＋bx＋c 1

C．s＝2t2－2t＋1 D．y＝x2＋ x2．二次函数y＝x2＋2x＋3中，自变量的取值范围为(B)

A．x＞0 B．x为一切实数 C．y＞2 D．y为一切实数 3．圆的面积公式S＝πR2中，S与R之间的关系是(C)

A．S是R的正比例函数 B．S是R的一次函数 C．S是R的二次函数 D．以上答案都不对

4．若y＝(a＋2)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是a≠－2. 5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3. (1)当a≠2时，x，y之间是二次函数关系；

(2)当a＝2且b≠－2时，x，y之间是一次函数关系．

6．判断函数y＝(x－2)(3－x)是否为二次函数，若是，写出它的二次项系数、一次项系数和常数项；若不是，请说明理由． 解：y＝(x－2)(3－x) ＝－x2＋5x－6，

它是二次函数，它的二次项系数为－1，一次项系数为5，常数项为－6.

知识点2 建立二次函数模型

7．(教材P41习题T2变式)国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为x，该药品原价为18元，降价后的价格为y元，则y与x的函数关系式为(C)

A．y＝36(1－x) B．y＝36(1＋x) C．y＝18(1－x)2 D．y＝18(1＋x2)

8．(教材P52习题T4变式)已知一个直角三角形两直角边的和为10，设其中一条直角边为x，则直

角三角形的面积y与x之间的函数关系式是(A)

1

A．y＝－x2＋5x B．y＝－x2＋10x

21

C．y＝x2＋5x D．y＝x2＋10x

2

9．(教材P28问题1变式)某校九(1)班共有x名学生，在毕业典礼上每两名同学都握一次手，共握11手y次，试写出y与x之间的函数关系式y＝x2－x，它是(填“是”或“不是”)二次函数．

2210．(教材P52习题T5变式)菱形的两条对角线的和为26 cm，则菱形的面积S(cm2)与一对角线长1x(cm)之间的函数关系为S＝x(26－x)，是二次函数，自变量x的取值范围是0＜x＜26．

2易错点 忽视二次函数解析式中二次项系数不为零

11．已知关于x的函数y＝(a＋2)xa2－2＋ax－2是二次函数，则a的值为2． 02 中档题

1

12．(吕梁市文水县期中)已知函数：①y＝ax2；②y＝3(x－1)2＋2；③y＝(x＋3)2－2x2；④y＝2＋x.

x其中，二次函数的个数为(B)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

13．如果二次函数y＝x2＋2x－7的函数值是8，那么对应的x的值是(C)

A．5 B．3 C．3或－5 D．－3或5

14．(教材P57习题T8变式)已知矩形的周长为36 m，矩形绕着它的一条边旋转形成一个圆柱，设矩形的一条边长为x m，圆柱的侧面积为y m2，则y与x的函数关系式为(C)

A．y＝－2πx2＋18πx B．y＝2πx2－18πx C．y＝－2πx2＋36πx D．y＝2πx2－36πx

15．已知函数y＝(m2＋m)·xm2－2m＋2. (1)当函数是二次函数时，求m的值； (2)当函数是一次函数时，求m的值． 解：(1)由题意，得m2－2m＋2＝2， 解得m＝2或m＝0. 又因为m2＋m≠0，

解得m≠0且m≠－1.所以m＝2.

(2)由题意，得m2－2m＋2＝1，解得m＝1. 又因为m2＋m≠0，

解得m≠0且m≠－1.所以m＝1.

1

16．一辆汽车的行驶距离s(单位：m)与行驶时间t(单位：s)的函数关系式是s＝9t＋t2，经12 s汽

2车行驶了多远？行驶380 m需要多少时间？ 1

解：当t＝12时，s＝9×12＋×122＝180.

2∴经12 s汽车行驶了180 m. 1

当s＝380时，9t＋t2＝380.

2

解得t1＝20，t2＝－38(不合题意，舍去)． ∴该汽车行驶380 m需要20 s.

17．(教材P29练习T2变式)一块矩形的草地，长为8 m，宽为6 m．若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.

(1)求y与x之间的函数关系式；

(2)若要使草地的面积增加32 m2，长和宽都增加多少米？ 解：(1)y＝(8＋x)(6＋x)－8×6，即y＝x2＋14x. (2)当y＝32时，x2＋14x＝32. 解得x1＝2，x2＝－16(舍去)． 答：长和宽都增加2米．

18．(教材P57习题T7变式)小李家用40 m长的篱笆围成一个一边靠墙(墙足够长)的矩形菜园，如图所示．

(1)写出这块菜园的面积y(m2)与垂直于墙的一边长x(m)之间的关系式，并指出它是一个什么函数； (2)直接写出x的取值范围．

解：(1)因为矩形菜园中垂直于墙的一边长为x m，则与墙平行的一边长为(40－2x)m.根据题意，得 y＝x(40－2x)，即y＝－2x2＋40x.它是一个二次函数． (2)0＜x＜20.

03 综合题

19．(教材P41习题T8变式)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12 cm，BC＝24 cm，动点P从点A开始沿边AB向B以2 cm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4 cm/s的速度移动(不与点C重合)．如果P、Q分别从A、B同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y cm2. (1)求y与x之间的函数关系式； (2)求自变量x的取值范围；

(3)四边形APQC的面积能否等于172 cm2.若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．

解：(1)由题意可知， AP＝2x，BQ＝4x，则 11y＝BC·AB－BQ·BP 2211＝×24×12－·4x·(12－2x)， 22即y＝4x2－24x＋144.

(2)∵0＜AP＜AB，0＜BQ＜BC， ∴0

当y＝172时，4x2－24x＋144＝172. 解得x1＝7，x2＝－1. 又∵0

∴四边形APQC的面积不能等于172 cm2.