对任意两个事件A, B, 有 P(B?A)?P(B)?P(AB)

加法公式：对任意两个事件A, B, 有

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(A?B)?P(A)?P(B)

P(?Ai)??P(Ai)?i?1i?1nn1?i?j?n?P(AA)ij?1?i?j?k?n?P(AAA)???(?1)ijknn?1P(A1A2?An)

3．条件概率

P?BA??

乘法公式

P(AB) P(A)P(AB)?P(A)P?BA?(P(A)?0)

P(A1A2?An)?P(A1)P?A2A1??P?AnA1A2?An?1?(P(A1A2?An?1)?0)

全概率公式

P(A)??P(ABi) ??P(Bi)?P(ABi)

i?1i?1nn

Bayes公式

P(Bk)P(ABk)P(ABk) ?n P(BkA)?P(A)?P(Bi)P(ABi)i?1

4．随机变量及其分布

分布函数计算

29

P(a?X?b)?P(X?b)?P(X?a)?F(b)?F(a)

5．离散型随机变量

(1) 0 – 1 分布

P(X?k)?pk(1?p)1?k,k?0,1

(2) 二项分布 B(n,p) 若P ( A ) = p

P(X?k)?Ckknp(1?p)n?k,k?0,1,?,n

* Possion定理

limn??npn???0

kkkn?k有

ln?i?mCnpn(1?pn)?e???k!

k?0,1,2,?

(3) Poisson 分布 P(?)

kP(X?k)?e???k!,k?0,1,2,?

6．连续型随机变量

(1) 均匀分布 U(a,b)

?1f(x)???b?a,a?x?b ??0,其他30

?0,??x?aF(x)??,

?b?a?1?

(2) 指数分布 E(?)

??x???e,x?0f(x)??

?其他?0,x?0?0, F(x)????x1?e,x?0?

(3) 正态分布 N (? , ? 2 )

f(x)?1e2???(x??)22?2???x???

1F(x)?2???x??e?(t??)22?2dt

*N (0,1) — 标准正态分布

?1?(x)?e2?x22 ???x???

?t22

?(x)?12??x??edt???x???

7.多维随机变量及其分布

二维随机变量( X ,Y )的分布函数

F(x,y)??x?????yf(u,v)dvdu

边缘分布函数与边缘密度函数

FX(x)??x???????f(u,v)dvdu

31

fX(x)??f(x,v)dv

??y??FY(y)???????????f(u,v)dudv

fY(y)??f(u,y)du

?? 8.连续型二维随机变量

(1) 区域G 上的均匀分布，U ( G )

?1?,(x,y)?Gf(x,y)??A

?其他?0,

(2)

二维正态分布

f(x,y)?12??1?21??2??e?(x??1)2(x??1)(y??2)(y??2)2??2????2?1?22(1??2)??22???1?1

???x???,???y???

9.

二维随机变量的 条件分布

f(x,y)?fX(x)fYX(yx)

?fY(y)fXY(xy)fX(x)?0 fY(y)?0

??fX(x)??f(x,y)dy??fXY(xy)fY(y)dy

??????fY(y)??f(x,y)dx??fYX(yx)fX(x)dx

????????

fYX(yx)fX(x)f(x,y) ? fXY(xy) ?fY(y)fY(y) 32