③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； 3. 代数余子式和余子式的关系：Mij???1?4. 设n行列式D：
将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1???1??i?jAij
n?n?1?22将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2???1?n?n?1?D； D；
将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D； 将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D； 5. 行列式的重要公式：
①、主对角行列式：主对角元素的乘积； ②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)n(n?1)2；
③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； ④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)⑤、拉普拉斯展开式：
n(n?1)2；
AOACCAOA??AB、??(?1)m?nAB CBOBBOBC⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；
6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A????(?1)kSk?n?k，其中Sk为k阶主子式；
nk?1n7. 证明A?0的方法：
①、A??A； ②、反证法；
③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n；
⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1.
A是n阶可逆矩阵：
?A?0（是非奇异矩阵）；
?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b总有唯一解；
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?A与E等价；
?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0；
?ATA是正定矩阵；
?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；
2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立； 3.
(A?1)*?(A*)?1(A?1)T?(AT)?1(A*)T?(AT)*
(AB)T?BTAT(AB)*?B*A*(AB)?1?B?1A?1
4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和； 5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：
?A1?若A?????A2???，则： ???As?Ⅰ、A?A1A2?As； ?A1?1??1Ⅱ、A???????1?1A2???； ???As?1??O??；（主对角分块） B?1??A?1?AO?②、?????OB??O?O?OA?③、????1??BO??A?1B?1??；（副对角分块） O??A?1?AC?④、?????OB??O?1?1?A?1CB?1??；（拉普拉斯） B?1?O??；（拉普拉斯） B?1??A?1?AO?⑤、?????1?1?CB???BCA3、矩阵的初等变换与线性方程组
F??1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：
?Er?OO? ?；O?m?n等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的
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矩阵；
对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B； 2. 行最简形矩阵：
①、只能通过初等行变换获得；
②、每行首个非0元素必须为1；
③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；
3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）
a) 若(A?,?E)??(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；
②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)； ③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x?A?1b；
4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：
①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；
??1?②、??????c?2???，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；
ii????n??1?1??1??????1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?1?E(i,j)，例如：?1???；
??1?1??????1④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k)?)?1?1?1?????k?????1?????1E(i，(例))如：k1k???(k?0)； ?1??⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：
k??k??1?1????1?1????(k?0)； ??1?1??????15. 矩阵秩的基本性质：
①、0?r(Am?n)?min(m,n)；
②、r(AT)?r(A)；
③、若A?B，则r(A)?r(B)；
④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※）
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⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）
⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※）
Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)?r(B)?n
⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；
6. 三种特殊矩阵的方幂：
①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；
?1ac??的矩阵：利用二项展开式； ②、型如?01b???001??? 二项展开式：
n?a?b??Ca?Cab?...?Ca0nn1nn?11mnn?mmb?...?Cabn?11n?1nmmn?m?Cb??Cnab；
nnnm?0n注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项； Ⅱ、Cnm?n(n?1)??(n?m?1)n!?1?2?3???mm!(n?m)!mnn?mn0nCn?Cn?1
Ⅲ、组合的性质：C?CCmn?1?C?Cmnm?1n ?Cr?0nrn?2nrr?1； rCn?nCn?1③、利用特征值和相似对角化： 7. 伴随矩阵：
?n?①、伴随矩阵的秩：r(A*)??1?0?r(A)?n?????r(A)?n?1； r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值：③、A*?AA?1、A*?AA???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X)；
n?1
8. 关于A矩阵秩的描述：
①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）
②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；
9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：
①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；
②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程； 10. 线性方程组Ax?b的求解：
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