①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；
11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：
?a11x1?a12x2???a1nxn?b1????ax?ax???ax?b????2nn2①、?211222；
??????????????am1x1?am2x2???anmxn?bn?a11a12?aa22②、?21?????am1am2?a1n??x1??b1???????a2n??x2??b2???Ax?b（向量方程，A为m?n矩阵，m个方程，n???????????????amn??xm??bm?个未知数）
?x1??b1?????x2?b??an???（全部按列分块，其中???2?）； ??????????x?n??bn?③、?a1a2④、a1x1?a2x2???anxn??（线性表出）
⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）
4、向量组的线性相关性 1.
m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m)；
??1T??T??TTTm个n维行向量所组成的向量组B：?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B??2?；
??????T???m?含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；
2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）
②、向量的线性表出 （线性方程组） ?Ax?b是否有解；③、向量组的相互线性表示 （矩阵方程） ?AX?B是否有解；
3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解； 4. 5.
r(ATA)?r(A)；
n维向量线性相关的几何意义： ①、?线性相关 ???0；
②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线（平行）；
③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；
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6. 线性相关与无关的两套定理：
若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关；
若?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：
若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）
简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；
7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r?s；
向量组A能由向量组B线性表示，则r?A??r?B?；
向量组A能由向量组B线性表示
?r(A)?r(A,B) ?AX?B有解；
向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)
8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl，使A?P1P2?Pl；
①、矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解 ②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）； 9. 对于矩阵Am?n与Bl?n：
①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；
②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；
③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩； 10. 若Am?sBs?n?Cm?n，则：
①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置） 11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解；
①、ABx?0 只有零解?Bx?0只有零解； ②、Bx?0 有非零解?ABx?0一定存在非零解；
12. 设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为：
(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K（B?AK）
其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性） 注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；
13. ①、对矩阵Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关；
②、对矩阵Am?n，存在Pn?m，PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关； 14. ?1,?2,?,?s线性相关
?存在一组不全为0的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立；（定义）
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?x1???x?(?1,?2,?,?s)?2??0有非零解，即Ax?0有非零解；
??????xs??r(?1,?2,?,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；
15. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为：r?S??n?r； 16. 若?*为Ax?b的一个解，?1,?2,...,?n?r为Ax?0的一个基础解系，则?*,?1,?2,...,?n?r线
性无关； 5、相似矩阵和二次型
1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质：
①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aiTaj???1?0i?j(i,j?1,2,?n)； i?j②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵； 注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化； 2. 施密特正交化：(a1,a2,?,ar)
b1?a1；
b2?a2?[b1,a2]?b1 [b1,b1][b1,ar][b,a][b,a]b1?2rb2???r?1rbr?1; [b1,b1][b2,b2][br?1,br?1]
??? br?ar?3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；
对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交； 4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；
?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；
②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆；
?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数；
③、A与B相似 ?P?1AP?B； 5. 相似一定合同、合同未必相似；
若C为正交矩阵，则CTAC?B?A相似B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）； 6. A为对称阵，则A为二次型矩阵； 7.
n元二次型xTAx为正定：
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?A的正惯性指数为n；
?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E；
?A的所有特征值均为正数； ?A的各阶顺序主子式均大于0；
（必要条件） ?aii,A?0；
第三部分 概率论与数理统计
1. 随机事件及其概率
A????吸收率：A???AA???A A????
A?(AB)?AA?(A?B)?AA?B?AB?A?(AB)
反演律：A?B?AB AB?A?B
?A??A ?A??A
iiiii?1i?1i?1i?1nnnn2．概率的定义及其计算
P(A)?1?P(A)
若A?B ?P(B?A)?P(B)?P(A)
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