编辑人：伊人伊梦
（2）∵∠AOP=∠PEB=90°，∠OAP=∠EPB=90°﹣∠APO， ∴△AOP∽△PEB且相似比为∵AO=4，
∴PE=2，OE=OP+PE=t+2， 又∵DE=OA=4，
∴点D的坐标为（t+2，4），
∴点D落在抛物线上时，有﹣（t+2）+（t+2）+4=4，
解得t=3或t=﹣2， ∵t＞0， ∴t=3．
故当t为3时，点D落在抛物线上；
（3）存在t，能够使得以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似，理由如下： ①当0＜t＜8时，如图1．
2
==2，
若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD， 即t：（t+2）=4：（4﹣t），
整理，得t+16=0， ∴t无解；
若△POA∽△BDA，同理，解得t=﹣2±2②当t＞8时，如图2．
2
（负值舍去）；
若△POA∽△ADB，则PO：AD=AO：BD， 即t：（t+2）=4：（t﹣4），
17
编辑人：伊人伊梦
解得t=8±4（负值舍去）；
若△POA∽△BDA，同理，解得t无解． 综上可知，当t=﹣2+2或8+4时，以A、B、D为顶点的三角形与△AOP相似． 【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，综合性较强，难度较大．由相似三角形的判定与性质求出点D的坐标是解决（2）小题的关键；进行分类讨论是解决（3）小题的关键．
5、（2015?鄂州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=ax+bx+c的对称轴是x=﹣且经过A、C两点，与x轴的另一交点为点B．
（1）①直接写出点B的坐标；②求抛物线解析式．
（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求△PAC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）①先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；②设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=
m
2
﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S△PAC=×PQ×4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；
（3）首先可证明△ABC∽△ACO∽△CBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC；②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ④当点M在第四象限时，解题时，需要注意相似三角形的对应关系．
【解答】解：（1）①y=∴C（0，2），A（﹣4，0），
18
当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，
编辑人：伊人伊梦
由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称， ∴点B的坐标为1，0）．
2
②∵抛物线y=ax+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0）， ∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1）， 又∵抛物线过点C（0，2）， ∴2=﹣4a ∴a=∴y=
x
2
x+2．
m
2
（2）设P（m，m+2）．
过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，
∴Q（m，m+2）， ∴PQ==
2
m
2
m+2﹣（m+2）
m﹣2m，
∵S△PAC=×PQ×4，
=2PQ=﹣m﹣4m=﹣（m+2）+4，
∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是4， 此时P（﹣2，3）．
（3）在Rt△AOC中，tan∠CAO=在Rt△BOC中，tan∠BCO=， ∴∠CAO=∠BCO， ∵∠BCO+∠OBC=90°， ∴∠CAO+∠OBC=90°， ∴∠ACB=90°，
∴△ABC∽△ACO∽△CBO， 如下图：
2
2
19
编辑人：伊人伊梦
①当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC； ②根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC； ③当点M在第四象限时，设M（n，∴MN=n+n﹣2，AN=n+4 当
时，MN=AN，即n+n﹣2=（n+4）
2
2
2
n
2
n+2），则N（n，0）
整理得：n+2n﹣8=0
解得：n1=﹣4（舍），n2=2 ∴M（2，﹣3）； 当
时，MN=2AN，即n+n﹣2=2（n+4），
2
2
整理得：n﹣n﹣20=0 解得：n1=﹣4（舍），n2=5， ∴M（5，﹣18）．
综上所述：存在M1（0，2），M2（﹣3，2），M3（2，﹣3），M4（5，﹣18），使得以点A、M、N为顶点的三角形与△ABC相似．
【点评】本题主要考查的是二次函数与相似三角形的综合应用，难度较大，解答本题需要同学们熟练掌握二次函数和相似三角形的相关性质．
20