编辑人：伊人伊梦
因动点产生的相似三角形问题 答案：
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1．（2015?无锡校级三模）已知抛物线y=﹣x+1的顶点为P，点A是第一象限内该二次函数图象上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图象于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，连结PA、PD，PD交AB于点E，△PAD与△PEA相似吗？（ ）
A．始终不相似 B．始终相似
C．只有AB=AD时相似 D．无法确定 【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】先求出点P的坐标，从而得到OP的长，再设点A的横坐标为m，表示出AD，再表示出OD、OF、PF、AF，然后根据△PEF和△PDO相似，根据相似三角形对应边成比例
列式求出EF，然后利用勾股定理表示出PA、PE、PD，从而得到应成比例且夹角相等，两三角形相似解答． 【解答】解：令x=0，则y=1， ∴OP=1，
设点A的横坐标为m，
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则AD=﹣m+1，
∵AB⊥y轴，AD⊥x轴，
∴AF=OD=m，OF=﹣m+1，PF=1﹣（﹣m+1）=m，
22222242
在Rt△PAF中，PA=PF+AF=（m）+m=m+m， 在Rt△POD中，PD=
=
=
，
2
2
2
2
=，再根据两边对
由AB∥x轴得，△PEF∽△PDO， ∴
=
，
即=
2
，
解得，PE=m
2
，
4
2
∴PA=PD?PE=m+m， ∴
=
，
∵∠APE=∠DPA， ∴△PAD∽△PEA，
即，△PAD与△PEA始终相似． 故选B．
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编辑人：伊人伊梦
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，表示出两个三角形的公共角的夹边成比例是解题的关键．
2．（2016?贵阳模拟）如图所示，抛物线y=x+bx+c经过A、B两点，A、B两点的坐标分别为（﹣1，0）、（0，﹣3）． （1）求抛物线的函数解析式； （2）点E为抛物线的顶点，点C为抛物线与x轴的另一交点，点D为y轴上一点，且DC=DE，求出点D的坐标； （3）在第二问的条件下，在直线DE上存在点P，使得以C、D、P为顶点的三角形与△DOC相似，请你直接写出所有满足条件的点P的坐标．
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【考点】二次函数综合题． 【专题】代数几何综合题． 【分析】（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组求出b、c的值，即可得解； （2）令y=0，利用抛物线解析式求出点C的坐标，设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴
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于点F，利用勾股定理列式表示出DC与DE，然后解方程求出m的值，即可得到点D的坐标；
（3）根据点C、D、E的坐标判定△COD和△DFE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠EDF=∠DCO，然后求出CD⊥DE，再利用勾股定理求出CD的长度，然后①分OC与CD是对应边；②OC与DP是对应边；根据相似三角形对应边成比例列式求出DP的长度，过点P作PG⊥y轴于点G，再分点P在点D的左边与右边两种情况，分别求出DG、PG的长度，结合平面直角坐标系即可写出点P的坐标．
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【解答】解：（1）∵抛物线y=x+bx+c经过A（﹣1，0）、B（0，﹣3），
∴，
解得，
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故抛物线的函数解析式为y=x﹣2x﹣3；
（2）令x﹣2x﹣3=0， 解得x1=﹣1，x2=3，
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则点C的坐标为（3，0），
∵y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4， ∴点E坐标为（1，﹣4）， 设点D的坐标为（0，m），作EF⊥y轴于点F，
2222222222
∵DC=OD+OC=m+3，DE=DF+EF=（m+4）+1， ∵DC=DE，
∴m+9=m+8m+16+1， 解得m=﹣1，
∴点D的坐标为（0，﹣1）；
（3）∵点C（3，0），D（0，﹣1），E（1，﹣4）， ∴CO=DF=3，DO=EF=1， 根据勾股定理，CD=在△COD和△DFE中， ∵
，
=
=
，
2
22
2
∴△COD≌△DFE（SAS）， ∴∠EDF=∠DCO，
又∵∠DCO+∠CDO=90°， ∴∠EDF+∠CDO=90°， ∴∠CDE=180°﹣90°=90°， ∴CD⊥DE，
①分OC与CD是对应边时， ∵△DOC∽△PDC， ∴即
==， ， ，
解得DP=
过点P作PG⊥y轴于点G， 则
=
=
，
即==，
解得DG=1，PG=，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣DO=1﹣1=0， 所以点P（﹣，0），
当点P在点D的右边时，OG=DO+DG=1+1=2，
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所以，点P（，﹣2）； ②OC与DP是对应边时， ∵△DOC∽△CDP， ∴即
==
， ，
解得DP=3，
过点P作PG⊥y轴于点G， 则即
==
==
， ，
解得DG=9，PG=3，
当点P在点D的左边时，OG=DG﹣OD=9﹣1=8， 所以，点P的坐标是（﹣3，8），
当点P在点D的右边时，OG=OD+DG=1+9=10， 所以，点P的坐标是（3，﹣10），
综上所述，满足条件的点P共有4个，其坐标分别为（﹣，0）、（，﹣2）、（﹣3，8）、（3，﹣10）．
【点评】本题考查了二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的应用，相似三角形对应边成比例的性质，（3）题稍微复杂，一定要注意分相似三角形的对应边的不同，点P在点D的左右两边的情况讨论求解．
3、（2016?重庆模拟）如图，已知抛物线y=﹣（x+2）（x﹣a）（a＞0）与x轴交于点A，B（点A在点B右侧），与y轴交于点C，抛物线过点N（6，一4）． （1）求实数a的值；
（2）在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，求出点H的坐标；
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