编辑人：伊人伊梦
当△MND∽△BAO时，=，即=，
化简，得b=12﹣4a ③， 联立②③，得
，
解得a1=3（不符合题意，舍），a2=﹣17，b=12﹣4×（﹣17）=80， M2（﹣17，80）．
综上所述：当△DMN与△OAB相似时，点M的坐标（﹣2，），（﹣17，80）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，（1）设成顶点式的解析式是解题关键，（2）利用了勾股定理及勾股定理的逆定理，点到直线的距离；（3）利用了相似三角形的性质，图象上的点满足函数解析式得出方程组是解题关键，要分类讨论，以防遗漏．
10．（2015?苏州）如图，已知二次函数y=x+（1﹣m）x﹣m（其中0＜m＜1）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC （1）∠ABC的度数为 45° ；
（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在坐标轴上是否存在着点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）首先求出B点坐标，进而得出OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；
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（2）作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，利用勾股定理AE+PE=CD+PD，得出P点坐标即可；
（3）根据题意得出△QBC是等腰直角三角形，可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m），进而分别分析求出符合题意的答案． 【解答】解：（1）令x=0，则y=﹣m，C点坐标为：（0，﹣m），
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令y=0，则x+（1﹣m）x﹣m=0， 解得：x1=﹣1，x2=m，
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，
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∴B点坐标为：（m，0）， ∴OB=OC=m， ∵∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，∠ABC=45°； 故答案为：45°；
（2）如图1，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E， 由题意得，抛物线的对称轴为：x=设点P坐标为：（∵PA=PC，
∴PA=PC，
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即AE+PE=CD+PD， ∴（解得：n=
+1）+n=（n+m）+（，
，
）；
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2
2
2
2
，
，n），
），
2
∴P点的坐标为：（
（3）存在点Q满足题意， ∵P点的坐标为：（
2
2
2
2
，
2
2
），
∴PA+PC=AE+PE+CD+PD， =（
2
+1）+（
2
）+（
2
+m）+（
2
）
2
=1+m，
22
∵AC=1+m，
222∴PA+PC=AC， ∴∠APC=90°，
∴△PAC是等腰直角三角形，
∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似， ∴△QBC是等腰直角三角形，
∴由题意可得满足条件的点Q的坐标为：（﹣m，0）或（0，m）， ①如图1，当Q点坐标为：（﹣m，0）时， 若PQ与x轴垂直，则解得：m=，PQ=， 若PQ与x轴不垂直，
222
则PQ=PE+EQ =（
）+（
2
=﹣m，
+m）
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=m﹣2m+ =（m﹣）+∵0＜m＜1，
∴当m=时，PQ取得最小值∵
＜，
22
2
，PQ取得最小值，
∴当m=，即Q点的坐标为：（﹣，0）时，PQ的长度最小， ②如图2，当Q点的坐标为：（0，m）时， 若PQ与y轴垂直，则解得：m=，PQ=， 若PQ与y轴不垂直， 则PQ=PD+DQ=（=m﹣2m+ =（m﹣）+∵0＜m＜1，
∴当m=时，PQ取得最小值∵
＜，
22
22
2
2
=m，
）+（m﹣
2
）
2
，
，PQ取得最小值，
∴当m=，即Q点的坐标为：（0，）时，PQ的长度最小，
综上所述：当Q点坐标为：（﹣，0）或（0，）时，PQ的长度最小．
【点评】此题主要考查了二次函数综合以及勾股定理和二次函数最值求法等知识，利用分类讨论得出Q点坐标是解题关键．
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