编辑人：伊人伊梦
6、（2015?内江）如图，抛物线与x轴交于点A（﹣，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t（﹣＜t＜2），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若﹣＜t＜2且t≠0时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
【考点】二次函数综合题；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的性质． 【专题】压轴题．
2
【分析】（1）可设抛物线的解析式为y=ax+bx+c，然后只需运用待定系数法就可解决问题；
（2）当﹣＜t＜2时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）根据相似三角形的性质可得PN=2PO．由于PO=
，需分﹣＜t＜0和0＜t＜2两种
情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可解决问题．
2
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax+bx+c，由题可得：
，
解得：，
∴抛物线的函数关系式为y=﹣x+x+1；
（2）当﹣＜t＜2时，yN＞0， ∴NP=|yN|=yN=﹣t+t+1，
2
2
21
编辑人：伊人伊梦
∴S=AB?PN
=×（2+）×（﹣t+t+1） =（﹣t+t+1） =﹣t+
2
2
2
t+；
（3）∵△OPN∽△COB， ∴∴
==
， ，
∴PN=2PO．
①当﹣＜t＜0时，PN=∴﹣t+t+1=﹣2t， 整理得：3t﹣9t﹣2=0， 解得：t1=∵∴t=
，t2=
＞0，﹣＜
． ＜0，
，
=t，
）；
22
=yN=﹣t+t+1，PO=
2
=﹣t，
，此时点N的坐标为（
2
②当0＜t＜2时，PN=∴﹣t+t+1=2t， 整理得：3t﹣t﹣2=0， 解得：t3=﹣，t4=1． ∵﹣＜0，0＜1＜2，
22
=yN=﹣t+t+1，PO=
∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）． 综上所述：点N的坐标为（
，
）或（1，2）．
【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、解一元二
次方程等知识，需要注意的是：用点的坐标表示相关线段的长度时，应先用坐标的绝对值表示线段的长度，然后根据坐标的正负去绝对值；解方程后要检验，不符合条件的解要舍去．
7、（2015?潍坊）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx﹣8mx+4m+2（m＞0）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，
22
2
编辑人：伊人伊梦
在x轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；
（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题． 【分析】（1）认真审题，直接根据题意列出方程组，求出B，C两点的坐标，进而可求出抛物线的解析式；
（2）分0＜t＜6时和6＜t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；
（3）以点D为分界点，分2＜t≤8时和t＞8时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．
2
【解答】解：（1）由题意知x1、x2是方程mx﹣8mx+4m+2=0的两根， ∴x1+x2=8，
由
解得：
∴B（2，0）、C（6，0） 则4m﹣16m+4m+2=0， 解得：m=，
∴该抛物线解析式为：y=
（2）可求得A（0，3）
设直线AC的解析式为：y=kx+b， ∵
；
∴
∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，
23
编辑人：伊人伊梦
要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：
①当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣∵P（t，
），∴PF=
，
），
∴S△APC=S△APF+S△CPF ===
此时最大值为：
，
），
，
②当6＜t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣∵P（t，
），∴PM=
，
∴S△APC=S△APM﹣S△CPM===
，
当t=8时，取最大值，最大值为：12，
综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；
（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2， Q（t，3），P（t，
①当2＜t＜8时，AQ=t，PQ=若：△AOB∽△AQP，则：即：
，
， ），
，
∴t=0（舍），或t=，
，
若△AOB∽△PQA，则：即：
，
∴t=0（舍）或t=2（舍），
24