压轴题:动点中的相似问题练习(含答案) 下载本文

编辑人:伊人伊梦

6、(2015?内江)如图,抛物线与x轴交于点A(﹣,0)、点B(2,0),与y轴交于点C(0,1),连接BC.

(1)求抛物线的函数关系式;

(2)点N为抛物线上的一个动点,过点N作NP⊥x轴于点P,设点N的横坐标为t(﹣<t<2),求△ABN的面积S与t的函数关系式;

(3)若﹣<t<2且t≠0时△OPN∽△COB,求点N的坐标.

【考点】二次函数综合题;待定系数法求二次函数解析式;相似三角形的性质. 【专题】压轴题.

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【分析】(1)可设抛物线的解析式为y=ax+bx+c,然后只需运用待定系数法就可解决问题;

(2)当﹣<t<2时,点N在x轴的上方,则NP等于点N的纵坐标,只需求出AB,就可得到S与t的函数关系式;

(3)根据相似三角形的性质可得PN=2PO.由于PO=

,需分﹣<t<0和0<t<2两种

情况讨论,由PN=2PO得到关于t的方程,解这个方程,就可解决问题.

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【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax+bx+c,由题可得:

解得:,

∴抛物线的函数关系式为y=﹣x+x+1;

(2)当﹣<t<2时,yN>0, ∴NP=|yN|=yN=﹣t+t+1,

2

2

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∴S=AB?PN

=×(2+)×(﹣t+t+1) =(﹣t+t+1) =﹣t+

2

2

2

t+;

(3)∵△OPN∽△COB, ∴∴

==

, ,

∴PN=2PO.

①当﹣<t<0时,PN=∴﹣t+t+1=﹣2t, 整理得:3t﹣9t﹣2=0, 解得:t1=∵∴t=

,t2=

>0,﹣<

. <0,

=t,

);

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=yN=﹣t+t+1,PO=

2

=﹣t,

,此时点N的坐标为(

2

②当0<t<2时,PN=∴﹣t+t+1=2t, 整理得:3t﹣t﹣2=0, 解得:t3=﹣,t4=1. ∵﹣<0,0<1<2,

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=yN=﹣t+t+1,PO=

∴t=1,此时点N的坐标为(1,2). 综上所述:点N的坐标为(

)或(1,2).

【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的解析式、相似三角形的性质、解一元二

次方程等知识,需要注意的是:用点的坐标表示相关线段的长度时,应先用坐标的绝对值表示线段的长度,然后根据坐标的正负去绝对值;解方程后要检验,不符合条件的解要舍去.

7、(2015?潍坊)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=mx﹣8mx+4m+2(m>0)与y轴的交点为A,与x轴的交点分别为B(x1,0),C(x2,0),且x2﹣x1=4,直线AD∥x轴,

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在x轴上有一动点E(t,0)过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q.

(1)求抛物线的解析式;

(2)当0<t≤8时,求△APC面积的最大值;

(3)当t>2时,是否存在点P,使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,求出此时t的值;若不存在,请说明理由.

【考点】二次函数综合题. 【专题】压轴题. 【分析】(1)认真审题,直接根据题意列出方程组,求出B,C两点的坐标,进而可求出抛物线的解析式;

(2)分0<t<6时和6<t≤8时两种情况进行讨论,据此即可求出三角形的最大值;

(3)以点D为分界点,分2<t≤8时和t>8时两种情况进行讨论,再根据三角形相似的条件,即可得解.

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【解答】解:(1)由题意知x1、x2是方程mx﹣8mx+4m+2=0的两根, ∴x1+x2=8,

解得:

∴B(2,0)、C(6,0) 则4m﹣16m+4m+2=0, 解得:m=,

∴该抛物线解析式为:y=

(2)可求得A(0,3)

设直线AC的解析式为:y=kx+b, ∵

∴直线AC的解析式为:y=﹣x+3,

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要构成△APC,显然t≠6,分两种情况讨论:

①当0<t<6时,设直线l与AC交点为F,则:F(t,﹣∵P(t,

),∴PF=

),

∴S△APC=S△APF+S△CPF ===

此时最大值为:

),

②当6<t≤8时,设直线l与AC交点为M,则:M(t,﹣∵P(t,

),∴PM=

∴S△APC=S△APM﹣S△CPM===

当t=8时,取最大值,最大值为:12,

综上可知,当0<t≤8时,△APC面积的最大值为12;

(3)如图,连接AB,则△AOB中,∠AOB=90°,AO=3,BO=2, Q(t,3),P(t,

①当2<t<8时,AQ=t,PQ=若:△AOB∽△AQP,则:即:

, ),

∴t=0(舍),或t=,

若△AOB∽△PQA,则:即:

∴t=0(舍)或t=2(舍),

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