编辑人：伊人伊梦
（3）若把题干中“抛物线过点N（6，﹣4）”这一条件去掉，试问在第四象限内，抛物线上是否存在点F，使得以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）将N点坐标代入即可求得；
（2）由于A、B关于对称轴对称，所以相当于求AH+CH的最小值，根据两点之间线段最短，当A、H、C三点共线时AH+CH最小，即连接AC与对称轴的交点就是H，求出AC解析式，再与对称轴方程联立即可求得；
（3）分两种情况：①作BF∥AC交抛物线于点F，先求出BF解析式，再与抛物线方程联立求出F点坐标，再用两点间的距离公式表示出BF的长度，接着利用相似比例关系列出方程求解；②在x轴下方作∠ABF=∠ABC=45°，同样先求出BF解析式，再求出F点坐标，进而表示出BF长度，最后利用相似比例关系列方程求解．算的过程中，可能有一种情况无解，舍去就是了．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣（x+2）（x﹣a）（a＞0）过点N（6，一4）， ∴﹣4=
解得，a=4，
即实数a的值为4； （2）∵a=4 ∴
，
令y=0，得x1=﹣2，x2=4；令x=0，得y=2 ∴点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（0，2） ∵点A和点B关于抛物线的对称轴x=
对称，
∴在抛物线的对称轴上找一点H，使得BH+CH最小，即AH+CH最小，连接AC，则AC与抛物线的对称轴x=1的交点即为所求 如下图所示：
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设过点A（4，0），C（0，2）的直线解析式为：y=kx+b 则解得k=∴y=
，b=2
，得y=
令x=1代入y=
∴点H的坐标为（1，）
即点H的坐标为（1，）时，使得BH+CH最小； （3）①作BF∥AC交抛物线于点F，如图：
则∠FBA=∠BAC， 由y=﹣（x+2）（x﹣a）=﹣令x=0，则y=2， ∴C（0，2）， 又∵A（a，0）， ∴AC的解析式为y=设BF的解析式为y=∵BF过点B（﹣2，0）， ∴b=
，
， ， ，
，
∴BF的解析式为：y
∴，
解得：F（a+2，﹣2﹣），
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∴BF=
∵△BFA∽△ABC，
2
∴AB=BF?AC， ∴
，
化简整理得：16=0，不存在这种情形， 即这种情况不存满足要求的F点； ②∵B（﹣2，0），C（2，0），
∴BC的解析式为y=x+2，∠ABC=45°， 在x轴下方作∠ABF=∠ABC=45°，如图：
∴BF⊥BC，
∴BF的解析式为y=﹣x﹣2， ∴
解得：F（2a，﹣2a﹣2）， ∴BF=
∵△BFA∽△BAC，
2
∴AB=BF?BC， ∴
整理得：a﹣4a﹣4=0，
解得a=或a=（舍去）， 综上所述，a=时，以点B，A，F为顶点的三角形与△BAC相似． 【点评】考查了二次函数综合题，解决二次函数问题应注意对称性的应用，若已知三点坐标，可设一般式；若已知顶点坐标，可设顶点式；若已知抛物线与x轴两交点坐标，可设两点式，从而简化运算，整个问题围绕二次函数展开，并将二次函数、三角形等多个问题紧密地结合在一起，无论是题设的给出还是思维方式的考查都很新颖．一道考题不仅考查了二次函数、
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2
，
，
，
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三角形相似等初中数学中的重点内容，还考查了待定系数法等数学思想方法，这是中考试卷的创新题型和发展趋势，代数知识与几何知识得到了很好的整合，是一个典型的在知识网络交汇点处设计的热点试题．
4、（2015?黔南州）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），P（t，0）是x轴正半轴上的一个动点，M是线段AP的中点，将线段MP绕点P顺时针旋转90°得线段PB，过点B作x轴的垂线，过点A作y轴的垂线，两直线交于点D．
（1）求b、c的值；
（2）当t为何值时，点D落在抛物线上； （3）是否存在t，使得以A，B，D为顶点的三角形与△AOP相似？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由．
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【考点】二次函数综合题． 【专题】压轴题．
【分析】（1）将A、C两点坐标代入抛物线y=﹣x+bx+c，运用待定系数法即可求出b，c的值；
（2）先求得M的坐标，进而求出点D的坐标，然后将D（t+2，4）代入（1）中求出的抛物线的解析式，即可求出t的值；
（3）由于t=8时，点B与点D重合，△ABD不存在，所以分0＜t＜8和t＞8两种情况进行讨论，在每一种情况下，当以A、B、D为顶点的三角形与△PEB相似时，又分两种情况：△BEP∽△ADB与△PEB∽△ADB，根据相似三角形对应边的比相等列出比例式，求解即可．
【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x+bx+c过点A（0，4）和C（8，0），
2
2
∴，
解得．
故所求b的值为，c的值为4；
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