等比数列
教学内容分析
这节课是在等差数列的基础上,运用同样的研究方法和研究步骤,研究另一种特殊数列———等比数列.重点是等比数列的定义和通项公式的发现过程及应用,难点是应用. 教学目标
1. 熟练掌握等比数列的定义、通项公式等基本知识,并熟练加以运用. 2. 进一步培养学生的类比、推理、抽象、概括、归纳、猜想能力. 3. 感受等比数列丰富的现实背景,进一步培养学生对数学学习的积极情感. 任务分析
这节内容由于是在等差数列的基础上,运用同样的方法和步骤,研究类似的问题,学生接受起来较为容易,所以应多放手让学生思考,并注意运用类比思想,这样不仅有利于学生分清等差和等比数列的区别,而且可以锻炼学生从多角度、多层次分析和解决问题的能力.另外,与等差数列相比等比数列须要注意的细节较多,如没有零项、q≠0等,在教学中应注意加以比较. 教学设计
一、问题情景
在前面我们学习了等差数列,在现实生活中,我们还会遇到下面的特殊数列: 1. 在现实生活中,经常会遇到下面一类特殊数列.下图是某种细胞分裂的模型.
细胞分裂个数可以组成下面的数列:
1,2,4,8,…
2. 一种计算机病毒可以查找计算机中的地址薄,通过电子函件进行传播.如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮,函件接收者发送病毒称为第二轮,依此类推.假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机,那么,在不重复的情况下,这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是
1,20,202,203,…
(3)除了单利,银行还有一种支付利息的方式———复利,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,也就是通常说的“利滚利”.按照复利计算本利和的公式是
本利和=本金×(1+利率)
存期
例如,现在存入银行10000元钱,年利率是1.98%,那么按照复利,5年内各年末得到的本利和分别是(计算时精确到小数点后2位): 表47-1
时 间 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 年初本金(元) 10000 10000×1.0198 10000×1.0198 10000×1.0198 10000×1.0198 432年末本利和(元) 10000×1.0198 10000×1.0198 10000×1.0198 10000×1.0198 10000×1.0198 5432各年末的本利和(单位:元)组成了下面的数列:
10000×10198,10000×101982,10000×110000×101984,10000×101985. 问题:回忆等差数列的研究方法,我们对这些数列应作如何研究?
01983,
二、建立模型
结合等差数列的研究方法,引导学生运用从特殊到一般的思想方法分析和探究,发现这些数列的共同特点,从而归纳出等比数列的定义及符号表示:
一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列叫作等比数列,这个常数叫作等比数列的公比,公比通常用字母q表示(q≠0).即[问 题]
1. q可以为0吗?有没有既是等差,又是等比的数列?
2. 运用类比的思想可以发现,等比数列的定义是把等差数列的定义中的“差”换成了
“比”,同样,你能类比得出等比数列的通项公式吗?如果能得出,试用以上例子加以检验. 对于2,引导学生运用类比的方法:等差数列通项公式为an=a1+(n-1)d,即a1与(n-1)个d的和,等比数列的通项公式应为an等于a1与(n-1)个q的乘积,即an=a1qn-1.上面的几个例子都满足通项公式. 3. 你如何论证上述公式的正确性. 证法1:同等差数列———归纳法. 证法2:类比等差数列,累乘可得,即
各式相乘,得an=a1q
n-1
.
归纳特点:(1)an是关于n的指数形式.
(2)和等差数列类似,通项公式中有an,a1,q,n四个量,知道其中三个量可求另一个量.
三、解释应用
[例 题]
1. 某种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年剩留的这种物质是原来的84%,问:这种物质的半衰期为多长?
解:设这种物质最初的质量是1,经过n年,剩留量是an.由已知条件,得数列{an}是一个等比数列,其中a1=0.84,q=0.84. 设an=0.5,则0.84=0.5.
两边取对数,得nlg0.84=lg0.5. 用计算器计算,得n≈4.
答:这种物质的半衰期大约为4年.
2. 一个等比数列的第3项和第4项分别是12和18,求它的第1项与第2项.
n
解:设这个等比数列的第1项是a1,公比是q,那么
注:例1、例2体现了方程思想的应用,这也是有关等差、等比数列运算中常用的思想方法. 3. 已知数列{an},{bn}是项数相同的等比数列,那么{anbn}是否为等比数列?如果是,证明你的结论;如果不是,说明理由.
解:可以得到:如果{an},{bn}是项数相同的等比数列,那么{an·bn}也是等比数列. 证明如下:
设数列{an}的公比为p,{bn}的公比为q,那么数列{an·bn}的第n项与第n+1项分
n-1n-1nnn-1n
别为a1p·b1q与a1p·b1q,即a1b1(pq)与a1b1(pq).两项相比,得
显然,它是一个与n无关的常数,所以{an·bn}是一个以pq为公比的等比数列. 特别地,如果{an}是等比数列,c是不等于0的常数,那么数列{c·an}也是等比数列. [练 习]
1. 在等比数列{an}中, (1)a5=4,a7=6,求a9.
(2)a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.
2. 设{an}是正项等比数列,问:是等比数列吗?为什么?
3. 三个数成等比数列,并且它们的和等于14,它们的积等于64,求这三个数.