?2??1??2??3，W?L(?1,?2)。
(1) 求W的一组标准正交基； (2) 求W?的一组标准正交基；
(3) 求???2?2?3在W中的内射影(即求??W，使?????,??W?)，并求?到W的距离。
5．设?是数域P上的n维线性空间V的线性变换，f(x),g(x)?P[x]，证明 (1) f(?)?1(0)?g(?)?1(0)?(f(?)g(?))?1(0)； (2) 当f(x)与g(x)互素时，有
f(?)?1(0)?g(?)?1(0)?(f(?)g(?))?1(0)
6．设f(x1,x2,???,xn)?X'AX为n元实二次型，若矩阵A的顺序主子式
?k(k?1,2,???,n)都不为零，证明f(x1,x2,???,xn)可以经过非退化的线性替换化为下述标准型
22 ?1y12??2y2??????nyn这里?i??i,i?1,2,???,n，并且?0?1。 ?i?17．设数域A,B分别为数域P上的m?n与n?s矩阵，又
W?{B?|AB??0, ?为 P上的 维s列向量， ??即Ps?1}是n维列向量空间Pn?1的子空间，证明
dim(W)?r(B)?r(AB)
8．设f(X,Y)为定义在数域P上的n维线性空间V上的一个双线性函数，证明f(X,Y)?X'AX??i?1?j?1aijxixj可以表示为两个线性函数f1(X)??i?1bixi，
f2(Y)??i?1ciyi之积的充要条件是f(X,Y)的度量矩阵A的秩?1。
nnnn
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华南师范大学 2002年
1．计算行列式
xa1Dn?1?a1a1a1a1xa2a2a2a2a2xa3a3a3a3a3xa4???an???an???an
???an???x??????????????????2．设f(x),g(x)是数域F上的多项式，f(x)?d(x)f1(x)，g(x)?d(x)g1(x)。证明d(x)是f(x),g(x)的最大公因式当且仅当(f1(x),g1(x))?1。
3．设c是复数，并且是有理数域Q上的一个非零多项式的根，令
J?{f(x)?Q(x)|f(c)?0}。证明J中存在唯一的首项系数为1的多项式p(x)，
使得对于任意f(x)?J,f(x)?p(x)q(x),q(x)?Q(x)。
4．设A是m?n矩阵，B是m?s矩阵，证明存在n?s矩阵X满足AX?B的充要条件是秩(A,B)?秩A。
5．设V是数域F上的线性空间，V中一组向量?1,?2,???,?t生成的子空间是
L(?1,?2,???,?t)?{x1?1?x2?2?????xt?t|x1,x2,???,xt?F}。证明
(1) L(?1,?2,???,?t)是所有包含?1,?2,???,?t的子空间中的最小者； (2) dim[L(?1,?2,???,?k)?L(?1,?2,???,?m)]?秩{?1,L,?k,?1,???,?m}； (3) 若?1,?2,L,?k,?1,?2,???,?m是V中两组线性无关的向量，则
L(?1,?2,???,?k)?L(?1,?2,???,?m)是直和当且仅当?1,?2,???,?k,?1,?2,???,?m线性无关。
6．设
A是实数域R上n阶对称矩阵，对于
定义(?,?)??'A?。证明Rn在此定义??(x1,x2,???,xn)',??(y1,y2,???,yn)'?Rn，
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下构成欧氏空间的充分必要条件是A为正定矩阵。
7．设实数域3维线性空间R3上的线性变换?定义为
?(x,y,z)?(2x?y,y?z,2y?4z)，设V?1,V?2,V?3分别为其特征值?1,?2,?3的特征子空间。
(1) 求U?V?1?V?2?V?3； (2) ?能否对角化；
(3) 证明?|U可以对角化，求出U的一个基，使?|U在此基下的矩阵为对角形，并写出此对角形矩阵。
228．已知二次型f?3x12?3x2?2x3?2bx1x2(b?0)通过正交替换化为标准形22，求出参数b和相应的正交矩阵。 f?y12?2y2?5y32003年
1. 证明行列式等式
?a11?xa12?x??a21?xa22?x?????????a?xa?xn2?n1???a1n?x??nn???a2n?x??|A|?x??Aij
???????i?1j?1????ann?x??其中|A|?|aij|，Aij是aij在|aij|中的代数余子式。
2. 设f(x),g(x)是数域F上的多项式，m是一正整数，证明
fm(x)|gm(x)?f(x)|g(x)
3.(1) 设A是m?s矩阵，B是s?n矩阵，X?(x1,x2,???,xn)'，证明线性方程组BX?0与ABX?0同解的充要条件是秩(AB)?秩A。
(2) 设A是m?s实数矩阵，证明秩(A'A)?秩(AA')?秩A。
4. 设R是实数域，R2?2为所有2阶实方阵构成的线性空间。对于固定的实数a,b,c,d?R，定义R2?2上线性变换T，
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?ab?T:X???cd??X
???10??01??00??00???????(1) 求T在基E1??，，，E?E?E?234?00??00??10??01??下的????????矩阵；
?ab??12?(2) 若??cd?????21??，将线性变换T对角化并给出变换的矩阵。
????5. 设实对称矩阵A的特征值全大于a，与A同阶的实对称矩阵B的特征值全大于b。
证明 (1) A?aE和B?bE都是正定矩阵； (2) A?B的特征值全大于a?b。
2007年
1．回答问题
(1) 设f(x),g(x)是数域F上的多项式，在什么条件下，由
f(x)|h(x),g(x)|h(x)可推出f(x)g(x)|h(x)；
(2) 下列变换那些保持矩阵的秩不变：初等变换A?B，相似变换
A?T?1AT，转置变换A?A'，右乘变换A?AC，正交变换A?T'AT；
(3) 写出n阶方阵A可逆的五个等价条件；
(4) 在欧氏空间V中，写出向量组?1,?2,???,?m正交化后得到的正交向量组
?1,?2,???,?m；
(5) 写出实二次型f(x1,x2,???,xn)的规范形，并对此规范形写出符号差和秩。 2．设线性方程组
?x1?x2?kx3?4?2??x1?kx2?x3?k ?x?x?2x??423?1k取何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解；在有解时写出它的通解。
3．设n(n?1)阶方阵A，
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