特征值。
2004年
1．设f(x)?x4?3x3?x2?4x?3，g(x)?3x3?10x2?2x?3求(f(x),g(x))及
u(x),v(x)使(f(x),g(x))?u(x)f(x)?v(x)g(x)。
2．计算行列式
1223??????n1???n???1
?????????n?13．a,b为何值时，实数域R上的线性方程组
?x1?x2?x3?x4?x5?1?3x?2x?x?x?3x?a?12345 ?x?2x?2x?6x?3345?2??5x1?4x2?3x3?3x4?x5?b有唯一解，无穷多解，无解？
4．求齐次线性方程组
?2x1?4x2?5x3?3x4?0??3x1?6x2?4x3?2x4?0 ?4x?8x?17x?11x?0234?1的基础解系，并写出解空间。
5．判断下列矩阵
1?2??1? A???101????1?1?1??的可逆性，如可逆，用初等变换法求其逆矩阵。
6．设?1?(1,2,1,0)，?2?(?1,1,1,1)，?1?(2,?1,0,1)，?2?(1,?1,3,7)，
V1?L(?1,?2)，V2?L(?1,?2)，求V1与V2的交的维数及一组基。
7．线性空间V的线性变换?在基?1,?2,?3下的矩阵为
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?122?? A??212????221??求?的特征值及特征向量。
8．设?是n维线性空间V的一个线性变换，?2?I，证明?的特征值只能为?1。
9．设A是正交矩阵且|A|??1，证明?1是A的一个特征值。
10．设A是一个n阶可逆实矩阵，证明存在一个正定对称矩阵S和一个正交矩阵U，使得A?US。
2005年
1．m,p,q适合什么条件时，有 (1) x2?mx?1|x3?px?q； (2) x2?mx?1|x4?px?q。 2．计算行列式
abc?ba?d(1) D??cda?d?cb1?xz0???00y1?xz???00dc； ?ba0y???00????????????000???z000???y1?x(2) Dn?1?x???，其中x?yz。
???1?x3．假设向量?可以由向量组?1,?2,???,?r线性表出，证明表示法是唯一的充分必要条件是?1,?2,???,?r线性无关。
4．讨论a,b取何值时，下列方程组无解、有唯一解，有无穷多解，有解时求出其解。
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?x1?2x2?3x3?x4?1?x?x?2x?3x?1?1234 ??3x1?x2?x3?2x4?a??2x1?3x2?x3?bx4??65．设n级方阵A,B满足条件A?B?AB，I为单位矩阵。 (1) 证明A?I为可逆矩阵； (2) 证明AB?BA；
?1?30??，求A。 210(3) 已知B??????002???1002??，求3级可逆阵P，4级可逆阵Q，使 00016．设A???????3000???1000??Q A?P?0100????0000??7．设?1,?2,???,?n是n维线性空间V的一组基，A是以n?s矩阵，
(?1,?2,???,?s)?(?1,?2,???,?n)A，证明L(?1,?2,???,?s)的维数等于A的秩。
8． () () 9． 10．
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哈尔滨工业大学
2009年
1. 设P是一个数域，f(x)，g(x)?P[x]。证明若?f(x),g(x?)?,1则
?f(x)g(x),f(x)?g(x)??1。
2．在R3中，线性变换?对于基
?1?(?1,0,2),?2?(0,1,1),?3?(3,?1,0)
的象为
??1?(?5,0,3),??2?(0,?1,6),??3?(?5,?1,9)
求?在?1,?2,?3上的矩阵A。
?1?11??200??,B??020?。且A与B相似。 24?23． 设矩阵A??????????3?3a???00b??(1) 求a,b；
(2) 求一个可逆阵P，使P?1AP?B。
4．称矩阵A为幂零矩阵，如果存在正整数m使得Am?0。试证
(1) 若A为n阶复幂零矩阵，则An?0；
(2) 若A为n阶复幂零矩阵，则对任意非零常数k，A?kEn都可逆。
5．设向量组(1)?1,?2,???,?r线性无关，并且可由向量组(2)?1,?2,???,?s线性表出。那么，r?s并且，以适当地排列组(2)中向量的次序，使得组(1)替换组(2)地前r个向量后所得到地向量组?1,?2,???,?r，?1,?2,???,?s与组(2)等价。
?AB?6．设X???,其中A,B,C,D均为n阶矩阵，且A是可逆对称矩阵，CD??B'?C。证明存在可逆矩阵T，使T'XT为分块对角阵。
7．设V1、V2是n维欧氏空间V的子空间，且V1的维数小于V2的维数。证明V2 20