法三：取????中点??，连接????，????，推导出平面???????//?平面??????，由此能证明?????//?平面??????．
法四：以??为原点，????，????，????所在直线为??，??，??轴，建立空间直角坐标系?????????，利用向量法能证明?????//?平面??????．
(Ⅱ)以??为原点，????，????，????所在直线为??，??，??轴，建立空间直角坐标系?????????，利用向量法能求出平面??????与平面??????所成锐二面角的余弦值． 【解答】
（本小题满分1
【试题解析】证明：(Ⅰ)证法一：取????中点??，连接????，????， ∵ ??，??分别是????，????中点， ∴ ????∥????,????=2????，
∵ ??为????中点，????????为正方形，∴ ????∥????,????=2????，
∴ ?????//?????，????=????，∴ 四边形????????为平行四边形…… ∴ ?????//?????，
∵ ????平面??????，?????平面??????，
∴ ?????//?平面??????…………………………………………… 证法二：取????中点??，连接????，????．
∵ ??是????中点，??是????中点，∴ ?????//?????， 又∵ ??是????中点，??是????中点，
∴ ?????//?????，∵ ?????//?????，∴ ?????//?????
又∵ ????∩????=??，?????平面??????，?????平面??????，?????平面??????，?????平面??????，
∴ 平面???????//?平面??????………………………………………
又∵ ?????平面??????，∴ ?????//?平面??????．…………………………………………… 证法三：取????中点??，连接????，????，
在正方形????????中，??是????中点，??是????中点，∴ ?????//?????， 又∵ ??是????中点，??是????中点，∴ ?????//?????，
又????∩????=??，?????平面??????，?????平面??????，?????平面??????，?????平面??????， ∴ 平面???????//?平面??????……………………
∵ ?????平面??????，∴ ?????//?平面??????…………………………
证法四：∵ ????⊥平面??????，且四边形????????是正方形，∴ ????，????，????两两垂直， 以??为原点，????，????，????所在直线为??，??，??轴，建立空间直角坐标系?????????，…………………
则??(1,?0,?0)，??(0,?0,?1)，??(0,?1,?1)，??(0,0,2),??(2,2,0)， ????=(,,?)，………
22
2
→
11
1
1
11
1
1
则设平面??????法向量为??=(??,??,??)，????=(?1,0,1),????=(?1,1,1)
→???=0 ，即{???+??=0 ，取??=(1,0,1)…………… 则{????→→???+??+??=0
???????=0→
→
→
→→→
???????=2?2=0……………………………………………
∴ ????⊥→??，又∵ ????平面??????，∴ ?????//?平面??????…
试卷第17页，总25页
→
→
11
（2）∵ ????⊥平面??????，且四边形????????是正方形，∴ ????，????，????两两垂直， 以??为原点，????，????，????所在直线为??，??，??轴，建立空间直角坐标系?????????，………………………………………………
则??(1,?0,?0)，??(0,?0,?1)，??(0,?1,?1)，??(0,0,2),??(2,2,0)
设平面??????法向量为??1=(??1,??1,??1)，????=(,,?),????=(?,,1)
22222
→
??1+??1???1=0???????1=0
1 ，即{1 ， 则{→→
?2??1+2??1+??1=0
???????1=0
→
→
→
11
1
→
11
1
11
取??1=(3,?1,2)……
则设平面??????法向量为??2=(??2,??2,??2)，????=(?1,0,1),????=(?1,1,1) ???????=0???+??2=0→
，即{2 ，取??2=(1,0,1)……… 则{→→2
???2+??2+??2=0
???????2=0
→→cos???1,??2
→
→
→
→
→
→
>=
→→|??1|?|??2|
??1???2
→→
=
3×1+(?1)×0+2×1√14×√2=
5√7……… 14
5√7…… 14
∴ 平面??????与平面??????所成锐二面角的余弦值为
试卷第18页，总25页
【答案】
设动圆??的半径为??，由题意知|????1|=3???，|????2|=1+??
从而有|????1|+|????2|=4，故轨迹??为以??1，??2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(?2,?0)， 从而轨迹??方程为
??24
+
??23
=1(??≠?2)．
??2
??2
+=13 ， 设??方程为??=????+1，联立{4
??=????+1
消去??得(3??2+4)??2+6?????9=0，设点??(??1,???1)，??(??2,???2)，
12(1+??)
有??1+??2=3??2+4,??1??2=3??2+4，有|????|=√1+??212√1+??， =3??2+43??2+4
?6??
?9
22
点??(?2,?0)到直线了的距离为√1+??2，点??(2,?0)到直线了的距离为√1+??2， 从而四边形????????的面积??=×
2
1
12(1+??2)3??2+4
24
31×4√1+??=224√1+??23??2+4
1
令??=√1+??2,??≥1，有??=3??2+1=3??+1，由函数??=3??+??在[1,?+∞)单调递增
??24??
1
有3??+??≥4，故??=3??2+1=3??+1≤6，四边形????????面积的最大值为6．
??
24??24
【考点】 椭圆的定义 【解析】
（1）根据椭圆的定义以及圆和圆的位置关系可得，
+=13 ，利用韦达定理以及弦长公式和点到直（2）设??方程为??=????+1，联立{4
??=????+1线的距离公式，即可求出四边形的面积，再根据函数的单调性即可求出． 【解答】
设动圆??的半径为??，由题意知|????1|=3???，|????2|=1+??
从而有|????1|+|????2|=4，故轨迹??为以??1，??2为焦点，长轴长为4的椭圆，并去除点(?2,?0)， 从而轨迹??方程为
??24
??2
??2
+
??23
=1(??≠?2)．
试卷第19页，总25页
+3=1
， 设??方程为??=????+1，联立{4
??=????+1
消去??得(3??2+4)??2+6?????9=0，设点??(??1,???1)，??(??2,???2)，
12(1+??)
有??1+??2=3??2+4,??1??2=3??2+4，有|????|=√1+??212√1+??， =3??2+43??2+4
?6??
?9
22
??2??2
点??(?2,?0)到直线了的距离为√1+??2，点??(2,?0)到直线了的距离为√1+??2，
112(1+??)从而四边形????????的面积??=××22
3??+424??
24
2
314√1+??=224√1+??23??2+4
1
令??=√1+??2,??≥1，有??=3??2+1=3??+1，由函数??=3??+??在[1,?+∞)单调递增
??1
有3??+??≥4，故??=3??2+1=3??+1≤6，四边形????????面积的最大值为6．
??
24??24
【答案】
（1）函数??(??)=??2?4??+5?????在(?∞,?+∞)上是单调递增函数， ∴ 在??∈??上，??′(??)=2???4+????≥0恒成立，
即：??≥(4?2??)????；，
∴ 设?(??)=(4?2??)????，??∈??； 则?′(??)=(2?2??)????，
∴ 当??∈(?∞,?1)时?′(??)>0，?(??)在??∈(?∞,?1)上为增函数， ∴ 当??∈(1,?+∞)时?′(??)<0，?(??)在??∈(1,?+∞)上为减函数， ∴ ?(??)max=?(1)=2??， ∵ ??≥[(4?2??)????]max， ∴ ??≥2??，即??∈[2??,?+∞)；
（2）方法一：因为??(??)=????(??2?4??+5)???， 所以??′(??)=????(???1)2≥0，
所以??(??)在(?∞,?+∞)上为增函数， 因为??(??1)+??(??2)=2??(??)， 即??(??1)???(??)=??(??)???(??2)，
所以??(??1)???(??)和??(??)???(??2)同号，
不妨设??1??≥1)， 所以?′(??)=???2?????(2??????1)2+????(???1)2，
因为??2?????0，?(??)在(??,?+∞)上为增函数，
所以?(??)>?(??)=0，?(??2)=??(2?????2)+??(??2)?2??(??)>0， 所以??(2?????2)>2??(??)???(??2)=??(??1)， 所以2?????2>??1，即??1+??2<2??； 方法二：∵ ??(??)=??????(??)
=(??2?4??+5)?????????(??1)+??(??2) =2??(??)，??∈[1,?+∞)，
22∴ (??1?4??1+5)????1???+(??2?4??2+5)????2???=2(??2?4??+5)?????2??， 22∴ (??1?4??1+5)????1+(??2?4??2+5)????2=2(??2?4??+5)????， ∴ 设??(??)=(??2?4??+5)??????∈??， 则??(??1)+??(??2)=2??(??)，
试卷第20页，总25页
????