【圆锥曲线板块】双曲线知识点总结及重点题型 班级_______姓名________

知识点一：双曲线的定义在平面内，到两个定点动点

的轨迹叫作双曲线.这两个定点

、

、

的距离之差的绝对值等于常数

（大于0且

）的

叫双曲线的焦点，两焦点的距离叫作双曲线的焦距.

，这可以借助于三角形中边的相（

），则动点轨迹仅表示双曲线

的一支；

注意：1. 双曲线的定义中，常数应当满足的约束条件：关性质“两边之差小于第三边”来理解；

2. 若去掉定义中的“绝对值”，常数满足约束条件：中靠焦点的一支；若

知识点二：双曲线的标准方程

1．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：

（

），则动点轨迹仅表示双曲线中靠焦点

，其中；

2．当焦点在轴上时，双曲线的标准方程：，其中.

注意：1．只有当双曲线的中心为坐标原点，对称轴为坐标轴建立直角坐标系时,才能得到双曲线的标准方程； 2．在双曲线的两种标准方程中，都有

；

的系数为正时，焦点在轴上，双曲线的焦点坐

，

.

3．双曲线的焦点总在实轴上，即系数为正的项所对应的坐标轴上.当标为

，

；当

的系数为正时，焦点在

轴上，双曲线的焦点坐标为

知识点三：双曲线的简单几何性质 ＞0）的简单几何性质

双曲线

（a＞0，b

（1）对称性：对于双曲线标准方程（a＞0，b＞0），把x换成-x，或把y换成-y，或把x、

y同时换成-x、-y，方程都不变，所以双曲线（a＞0，b＞0）是以x轴、y轴为对称轴的轴对称图形，且是

以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为双曲线的中心。

（2）范围：双曲线上所有的点都在两条平行直线x=―a和x=a的两侧，是无限延伸的。因此双曲线上点的横坐标满足x≤-a或x≥a。（3）顶点：①双曲线与它的对称轴的交点称为双曲线的顶点。

②双曲线（a＞0，b＞0）与坐标轴的两个交点即为双曲线的两个顶点，坐标分别为A1（―a，0），A2（a，

0），顶点是双曲线两支上的点中距离最近的点。

③两个顶点间的线段A1A2叫作双曲线的实轴；设B1（0，―b），B2（0，b）为y轴上的两个点，

则线段B1B2叫做双曲线的虚轴。实轴和虚轴的长度分别为|A1A2|=2a，|B1B2|=2b。a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长。

注意：①双曲线只有两个顶点，而椭圆有四个顶点，不能把双曲线的虚轴与椭圆的短轴混淆。 ②双曲线的焦点总在实轴上。③实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线。 （4）离心率： ①双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示，记作②因为c＞a＞0，所以双曲线的离心率

。

，所以

决定双

。由c=a+b，可得

1

222

曲线的开口大小，越大，e也越大，双曲线开口就越开阔。所以离心率可以用来表示双曲线开口的大小程度。③等轴

双曲线，所以离心率。

（5）渐近线：经过点A2、A1作y轴的平行线x=±a，经过点B1、B2作x轴的平行线y=±b，四条直线围成一个矩形（如图），矩形的两条对角线所在直线的方程是，我们把直线注意：双曲线与它的渐近线无限接近，但永不相交。 知识点四：双曲线标准方程 与的区别和联系 叫做双曲线的渐近线。

图形 焦点 焦距 性质 范围 对称性 顶点 轴 离心率 渐近线方程 ， ， ， ， 关于x轴、y轴和原点对称 实轴长=，虚轴长= 知识点五：双曲线的渐近线：（1）已知双曲线方程求渐近线方程：若双曲线方程为，则其渐近线方程为

注意：（1）已知双曲线方程，将双曲线方程中的“常数”换成“0”，然后因

式分解即得渐近线方程。（2）已知渐近线方程求双曲线方程：若双曲线渐近线方程为

，则可设双曲线方程

为，根据已知条件，求出即可。（3）与双曲线有公共渐近线的双曲线方程可设为

2

（

因此等轴双曲线可设为

，焦点在轴上，，焦点在y轴上）（4）等轴双曲线的两条渐近线互相垂直，为，

一. 定义的应用

5)与点F2(0，?5)满足PF1?PF2?6，则点P的轨迹方程为______________ 1．动点P与点F1(0，2．已知点F1(?4,0)和F2(4,0)，曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6，则曲线方程为（ ）

x2y2y2x2x2y2y2x2x2y2??1(y?0) C．??1(x?0) A．??1 B．??1或??1 D．97979797973.已知平面上两定点F1,F2及动点M，命题甲：MF1?MF2?2a（a为常数），命题乙：“点M轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线”，则命题甲是命题乙的 （ ）

A:充分不必要条件 B:必要不充分条件 C:充要条件 D:既不充分也不必要条件

4双曲线4x2?y2?64?0上一点P到它的一个焦点的距离等于16.5，则点P到另一个焦点的距离等于 . x2y25．设P是双曲线2??1上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x?2y?0，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若

a9PF1?3，则PF2的值为 ．

6．已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为(5，0)和(?5，0)，点P在双曲线上且PF1?PF2，且△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为__________________

P是双曲线上的一点，且PF1?PF2，PF7.已知双曲线的两个焦点为F1?PF2?2，则该双曲线1(?5,0),F2(5,0)，

的方程是 （ ）

x2y2x2y2x2y222A:??1 B:??1 C:?y?1 D:x??1

233244x2y2?2?1(b?0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且?PF1F2?300；则8. 已知F1,F2为双曲线

4bb?______

x2y2??1的两个焦点为F1,F2，点P在双曲线上，若PF1?PF2，则点P到x 轴的距离为 9．双曲线

91610.双曲线16x-9y=144上一点P(x0,y0)(x0＜0)到左焦点距离为4，则x0= .

2

2

x2y2x2y211．若椭圆??1(m?n?0)和双曲线??1(a?b?0)有相同的焦点F1，F2，点P是两条曲线的一个交点，则

mnabPF1·PF2的值为 ．

12．动圆与两圆x?y?1和x?y?8x?12?0都相切，则动圆圆心的轨迹为（ ）

A．抛物线

[来源学科网]2222B．圆 C．双曲线的一支 D．椭圆

3

x2y213．P是双曲线2?2?1(a?0，b?0)左支上的一点，F1，F2为其左、右焦点，且焦距为2c，则△PF1F2的内切圆圆

ab心的横坐标为

二. 双曲线的几何性质

1．“ab<0”是“方程ax2?by2?c表示双曲线”的（ ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 2．双曲线2x2?y2?m的一个焦点是(0,3)，则m的值是_________。 33．如果双曲线的渐近线方程为y??x，则离心率为____________

44．双曲线mx2?y2?1的虚轴长是实轴长的2倍，则m? （ ）

A:?4 B:?11 C:4 D: 44y2y25．双曲线2?2?1的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率为( ）

abA:2 B:3 C:2 D:3 2x2y26．双曲线2?2?1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为 ( )

abA:2 B:5 C:25?1 D:3 27．P是双曲线x2?y2?1上一点，则P到两条渐近线的距离的积为_______

x2y28．双曲线2?2?1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为 ．

abx2y2??1的两条渐近线的夹角为，则双曲线的离心率为 9．已知双曲线2?3a2x2y210．已知双曲线??1的离心率为e?2，则k的范围为____________________

4kπ?x2y2?11．若双曲线2?2?1的一条渐近线的倾斜角为??0????，其离心率为 ．

2?ab?[来源学科x2y2??1表示双曲线，则m的取值范围 （ ） 12.方程

2?m2?mA:?2?m?2 B:m?0 C:m?0 D:m?2

x2y2x2y2?2?1和双曲线2??1有相同的焦点，则实数n的值是 （ ） 13.椭圆

34nn16A:?5 B:?3 C:25 D:9

x2y2x2y2??1(m?6)与曲线??1(5?m?9)的 （ ） 14．曲线

10?m6?m5?m9?m

4