因为P点在圆x＋y＝4上， 所以(2x－2)＋(2y)＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)＋y＝1. (2)设PQ的中点为N(x，y)， 在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ， 所以|OP|＝|ON|＋|PN|＝|ON|＋|BN|， 所以x＋y＋(x－1)＋(y－1)＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x＋y－x－y－1＝0.
思维升华 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同常采用以下方法 (1)直接法：直接根据题目提供的条件列出方程． (2)定义法：根据圆、直线等定义列方程． (3)几何法：利用圆的几何性质列方程．
(4)代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等．
跟踪训练 (2017·河北衡水中学调研)已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求： (1)直角顶点C的轨迹方程； (2)直角边BC的中点M的轨迹方程．
解 (1)方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0. 因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1， 又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，
x＋1x－3x＋1x－3
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yyyy化简得x＋y－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x＋y－2x－3＝0(y≠0)．
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方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|
2＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)＋y＝4(y≠0)．
(2)设M(x，y)，C(x0，y0)，因为B(3,0)，M是线段BC的中点，由中点坐标公式得x＝
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x0＋3
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，y0＋0y＝，
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所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，点C的轨迹方程为(x－1)＋y＝4(y≠0)，将x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)＋(2y)＝4，
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即(x－2)＋y＝1.
因此动点M的轨迹方程为(x－2)＋y＝1(y≠0)．
利用几何性质巧设方程求半径
典例 在平面直角坐标系xOy中，曲线y＝x－6x＋1与坐标轴的交点都在圆C上，求圆C的方程．
思想方法指导 本题可采用两种方法解答，即代数法和几何法．
(1)一般解法(代数法)：可以求出曲线y＝x－6x＋1与坐标轴的三个交点，设圆的方程为一般式，代入点的坐标求解析式．
(2)巧妙解法(几何法)：利用圆的性质，知道圆心一定在圆上两点连线的垂直平分线上，从而设圆的方程为标准式，简化计算，显然几何法比代数法的计算量小，因此平时训练多采用几何法解题． 规范解答
解 一般解法 (代数法)曲线y＝x－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)，设圆的方程是x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0(D＋E－4F>0)，
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?1＋E＋F＝0，
则有??3＋22?＋D?3＋2
??3－22?＋D?3－2
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2?＋F＝0，2?＋F＝0，
D＝－6，??
解得?E＝－2，
??F＝1，
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故圆的方程是x＋y－6x－2y＋1＝0.
巧妙解法 (几何法)曲线y＝x－6x＋1与y轴的交点为(0,1)，与x轴的交点为(3＋22，0)，(3－22，0)．
故可设C的圆心为(3，t)，则有3＋(t－1)＝(22)＋t，解得t＝1. 则圆C的半径为3＋?t－1?＝3， 所以圆C的方程为(x－3)＋(y－1)＝9.
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1．已知点A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的方程为( ) A．(x＋1)＋(y－3)＝29
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B．(x－1)＋(y＋3)＝29 C．(x＋1)＋(y－3)＝116 D．(x－1)＋(y＋3)＝116 答案 B
解析 由题意可知A(－4，－5)，B(6，－1)，则以线段AB为直径的圆的圆心为点
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?－4＋6，－5－1?，即(1，－3)， ?2?2??
?6＋4?＋?－1＋5?半径为＝29，
2故以线段AB为直径的圆的方程是 (x－1)＋(y＋3)＝29. 故选B.
2．圆心在y轴上，且过点(3,1)的圆与x轴相切，则该圆的方程是( ) A．x＋y＋10y＝0 C．x＋y＋10x＝0 答案 B
解析 根据题意，设圆心坐标为(0，r)，半径为r， 则3＋(r－1)＝r，
解得r＝5，可得圆的方程为x＋y－10y＝0.
3．(2017·豫北名校联考)圆(x－2)＋y＝4关于直线y＝A．(x－3)＋(y－1)＝4 C．x＋(y－2)＝4 答案 D
解析 设圆(x－2)＋y＝4的圆心(2,0)关于直线y＝
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B．x＋y－10y＝0 D．x＋y－10x＝0
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x对称的圆的方程是( ) 3
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B．(x－2)＋(y－2)＝4 D．(x－1)＋(y－3)＝4
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x对称的点的坐标为(a，b)，则有3
b3?·＝－1，?a－23?b3a＋2??2＝3·2，
解得a＝1，b＝3，
从而所求圆的方程为(x－1)＋(y－3)＝4.故选D.
?3?222
4．(2017·福建厦门联考)若a∈?－2，0，1，?，则方程x＋y＋ax＋2ay＋2a＋a－1＝0
4??
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表示的圆的个数为( )
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A．0 C．2 答案 B
B．1 D．3
解析 方程x＋y＋ax＋2ay＋2a＋a－1＝0表示圆的条件为a＋4a－4(2a＋a－1)>0，即
?3?2222
3a＋4a－4<0，解得－2 222222 ＋2a＋a－1＝0表示圆，故选B. 5．(2018·长沙二模)圆x＋y－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是( ) A．1＋2 C．1＋ 2 2 B．2 D．2＋22 2 2 2 答案 A 解析 将圆的方程化为(x－1)＋(y－1)＝1，圆心坐标为(1,1)，半径为1，则圆心到直线x|1－1－2| －y＝2的距离d＝＝2，故圆上的点到直线x－y＝2的距离的最大值为d＋1＝2 2＋1，故选A. 6．点P(4，－2)与圆x＋y＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( ) A．(x－2)＋(y＋1)＝1 B．(x－2)＋(y＋1)＝4 C．(x＋4)＋(y－2)＝4 D．(x＋2)＋(y－1)＝1 答案 A 解析 设圆上任一点坐标为(x0，y0)， 2 x20＋y0＝4，连线中点坐标为(x，y)， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ??2x＝x0＋4，则???2y＝y0－2， 2 2 ??x0＝2x－4， 解得? ??y0＝2y＋2， 2 2 代入x0＋y0＝4中，得(x－2)＋(y＋1)＝1. 7．已知a∈R，方程ax＋(a＋2)y＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________． 答案 (－2，－4) 5 解析 由已知方程表示圆，则a＝a＋2， 解得a＝2或a＝－1. 当a＝2时，方程不满足表示圆的条件，故舍去． 2 22 2 12 / 16