第一单元 毕奥—萨伐尔定律
［知识点精要］
1． 毕奥—萨伐尔定律：电流元Idl在P点产生的磁感应强度为：
????0Idl?r dB?34?r????0qv?r2．运动电荷产生的磁场：B?
4?r33．磁场的叠加原理 导线L中的电流在P点产生的磁感应强度等于每个电流元单独存在时，在P点产生的磁感应强度的矢量和，即
?????0Idl?r B??dB?4??r3或 B????Bi
i4．三种特殊形状载流导线产生的磁场： (1)“无限长”直线电流周围的磁场 B??0I 2?a?0I2a
(2)载流线圈圆心处的磁场 B?(3)均匀密绕“无限长”直载流螺线管内的磁场 B??0nI
??5．磁矩： Pm?ISn
［典型例题］：
例1-1．有一折成如图所示的无限长导线，已知电流I=10A，半圆半径R=0.5cm，试求圆心O点的磁感应强度。
解：O点的磁场可看成是半无限长载流导线AB、CD和半圆弧BC电流产生的磁场的叠加。AB、BC产生的磁场方向相同，均垂直纸面向里；CD产生的磁场为零。 故 B0??0I?0I?I1??0?0(?1) 4?R4R4R? 1
例1-2 图示为两条穿过Y轴垂直于X-Y平面的平行长直导线的俯视图，两条导线皆通有电流I，但方向相反，它们到X轴的距离皆为a。 (1)推导出X轴上P点处的磁感应强度B(X)的表达式。 (2)求P点在X轴上何处时，该点的B取得最大值。
解：B1?B2??0I 2?r由对称性，X轴上任一点P的磁感应强度 B一定沿X轴方向。设B 与X轴夹角为φ，那么
B?2B1cos??2??0I2?a?x22?aa?x?0I ?a22??0Ia?(a2?x2)
显然x=0处，B最大，为：B?
例1-3 圆盘半径R，表面电荷面密度是σ，圆盘绕轴线以匀角速度ω旋转时，求圆盘中心的磁感应强度。
解：当带电圆盘旋转时，其上电荷做圆周运动形成电流，在空间产生磁场圆盘上的电流可以看成是半径连续变化的圆形电流的叠加。可取半径r，宽为dr的细圆环，旋转时，细圆环上电流为
dI???2?rdr?????rdr 2?在dr非常小，可将细圆环看成线电流，该线电流在圆心O处产生的磁感应强度为
dB??0dI2r??0??2dr
因半径不同的细圆环在0处产生的磁感应强度的方向相同，则O处总磁感应强度为 B?dB???0??2?R01dr??0??R
2
例1-4 如图所示，一半径为R的均匀带电无限长直圆筒，电荷面密度为σ，该筒以角速度ω绕其轴线匀速旋转，试求圆筒内部的磁感应强度。
由\B??0nI\，这里nI??q????l?2?R??????R2?l2??B??0??R
2
练习一
一、选择题
1-1．正方形线圈边长为 l ,通过电流I，那么顶点的磁感应强度B为：（ ）
?A?2?0I2?0I2?0I ?B? ?C? ?D?以上都不对 4?l2?l?l1-2．无限长的直导线在A点弯成半径为R的园环，则当通以电流I时，园心O处的
磁感应强度大小等于： （ ）
?A??0I2?R ?B??0I4R ?C?0
?D??0I(1?1) ?E??0I(1?1)
2R?4R?
1-3．两半径为R的相同的导体细园环，互相垂直放置，且两接触点A，B连线为环的直径，现有电流I沿AB连线方向由A端流入，再由B端流出，则环中心处的磁感应强度大小为：
?A?0 ?B??0I/4R ?C?2?0I/4R ?D?2?0I/R ?E?2?0I/8R （ ）
1-4．一载有电流I的细导线分别均匀密绕在半径为R和r的长直圆筒上形成两个螺线管(R=2r),两螺线管单位长度上的匝数相等。两螺线管中的磁感应强度大小BR和Br应满足：
(A)BR=2Br (B)BR=Br (C)2BR=Br (D)BR=4Br
( )
1-5．距一根载有电流强度为3×104A的电线1m处的磁感应强度的大小为 (A) 3×10-5T (B) 6×10-3T (C) 0.6T (D) 1.9×10-2T
( )
二、填空题：
1-6．载有电流I的导线由两根半无限长直导线和半径为R的、以xyz坐标系原点O为中心的3/4圆弧组成，圆弧在yOz平面内，两根半无限长直导线分别在xOy平面和xOz平面内且与x轴平行，电流流向如图所示。O点的磁感应强度B
z R O x I y ???i=___________ (用坐标轴正方向单位矢量,j,k表示)
3
1-7．在如图所示的回路中，两共面半圆的半径分别为a和b，且有公共圆心O，当回路中通有电流I时，圆心O处的磁感应强度B0 =_______________，方向___________。
1-8．空间直角坐标中，有一沿oy轴放置的长直截流导线，电流沿y轴正向，则在原点O处取一电流元Idl，此电流元在(0,0,a)点处的磁感应强度的大小为 ，方向为 。
1-9．半径为R的细导线环上，流过的电流为I，则到环上所有各点距离都为y的一点处的磁感应强度的大小B= (y＞R)。
1-10．两条相距为d的无限长平行载流直导线，通以同向电流，已知P点离第一条导线和第二条导线的距离分别为r1和r2，两根载流导线在P点产生的磁感应强度B1和B2的夹角α= 。
1-11．一长直螺线管是由直径d=0.2mm的漆包线密绕而成，当它通以I=0.5A的电流时，其内部的磁感应强度B= 。(忽略绝缘层厚度)
?1-12．真空中有一电流元Idl,在由它起始的矢径r的端点处的磁感应强度的数学表达式为 。
1-13．有二根导线，分别长2米和3米，将它们弯成闭合的圆，且通以电流I1和I2，已知两个圆电流在圆心处的磁感应强度相等。则两圆电流的比值I1/I2为：
1-14．若把氢原子的基态电子轨道看作是圆轨道，已知电子轨道半径r=0.53×10-10m，绕核运动速度大小v=2.18×106m/s，则氢原子基态电子在原子核处产生的磁感应强度B的大小为 。
三、计算题：
1-15．假定地球的磁场是由地球中心的小电流环产生的，已知地极附近磁感应强度B为6.27×10-5T，地球半径为R=6.37×106m，试用毕奥—萨伐尔定律求小电流环的磁矩大小。
1-16．如图，在球面上互相垂直的三个线圈1、2、3通有相同的电流，电流方向如箭头所示，试指出球心O点的磁感应强度的方向。(写出在直角坐标系中的方向余弦角)
4
第二单元 安培环路定理
［知识点精要］
1．安培环路定理 真空磁场中，磁感应强度B沿任意闭合路径L的环流等于穿过以该闭合曲线为边界所张任意曲面的各恒定电流代数和的μ0倍。即
?它表明磁场是“有旋场”。
［典型例题］
L??B?dl??0?Ii
例2-1 如图所示， 宽度为d的导体薄片上有电流I沿此导体长度方向流过，电流在导体宽度方向均匀分布，导体外在导体片中线附?近处的磁感应强度B的大小为 。
解：在中部取图示环路abcda
??IB?dl???l 0?d在4段路径中，有两段路径与磁感线垂直，故
2B?l??0
?II?l， ∴B?0
2dd例2-2 在半径为R的长直金属圆柱体内部挖去一个半径为r
的长直圆柱体，两柱体轴线平行，其间距为a，如图，今在此导体上通以电流I，电流在截面上均匀分布，则空心部分轴线上O′点的磁感应强度的大小为 。
解：设导体内的电流密度为j，则j?I?(R?r)22
??O′点的磁感应强度B视为长直导线产生的磁感应强度B1和电流密度为-j的空腔产生的磁
????感应强度B2的矢量和：B?B1?B2
显然B2=0，由安培环路定理可求出 B1??0?ja(j?a2)?0 2?a2?0aI2?(R2?r2)
∴ B?B1? 5
练习二
一、选择题
2-1．磁场由沿空心长圆筒形导体的均匀分布的电流产生，圆筒半径为R，x坐标轴垂直圆筒轴线，原点在中心轴线上，图(A)～(E)哪一条曲线表示B—x的关系? ( )
2-2．四条平行的无限长直导线，垂直通过边长为a=20cm的正方形顶点，每条导线中的电流都是I=20A,这四条导线在正方形中心O点产生磁感应强度为
(A)B=0 (B)B=0.4×１0-4T (C)B=0.8×１0-4T (D)B=1.6×１0-4T ( )
2-3．如图所示，有两根载有相同电流的无限长直导线，分别通过x1=1、x2=3的点，且平行于Y轴，则磁感应强度B等于零的地方是 ( )
(A)在x=2的直线 (B)在x＞2的区域 (C)在x＜2的区域 (D)不在OXY平面上
2-4．在图(a)和(b)中各有一半径相同的圆形回路L1、L2，圆周内有电流I1、I2，其分布相同，且均在真空中，但在(b)图中L2回路外有电流I3，P1、P2为两圆形回路上的对应点，则：
(A)(B)(C)(D)???L1B?dl??B?dl,BP1?BP2,
L2L1B?dl??B?dl,BP1?BP2,
L2L1B?dl??B?dl,BP1?BP2,
L2?L1B?dl??B?dl,BP1?BP2,
L2 ( ) 2-5．如图，在一圆形电流I所在的平面内，选取一个同心圆形闭合回路L，则由安培
6
环路定理可知 ( )
(A)?LB?dl?0，且环路上任意一点B=0 (B)?LB?dl?0，且环路上任意一点B≠0 (C)?LB?dl?0，且环路上任意一点B≠0
(D)?LB?dl?0，且环路上任意一点B=常量
二、填空题
2-6．一半径为a的无限长载流导线，沿轴向均匀地流有电流I，若作一个半径为R=5a、高为 l 的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的轴平行且相距3a(如图)，则B?S上的积分??B??dS?在圆柱侧面
? 。
2-7．如图所示，磁感应强度B?沿闭合曲线L的环流 ?LB??dl?? 。
2-8．有一同轴电缆，其尺寸如图所示，它的内外两导体中的电流均为I，且在横截面上均匀分布，但二者电流的流向相反，则
(1) 在r＜R1处磁感强度大小为 (2) 在r＞R3处磁感强度大小为
2-9．如图，平行的无限长直载流导线A和B，电流强度均为I，垂直纸面向外，两根载流导线之间相距为a，则
(1)AB中点(p点?)的磁感应强度Bp= 。 (2)磁感应强度B沿图中环路 l 的线积分
?LB??dl?? 。
7
第三单元 磁场的高斯定理 磁介质
［知识点精要］
1．磁通量 在磁场中，穿过任意曲面S的磁通量为：
???m???B?dS
s2．磁场的高斯定理：在磁场中，穿过任意闭合曲面S的磁通量恒等于零，即
????B?dS?0
S它表明了磁场是“无源场”
3．磁介质中的安培环路定理：
(1)介质在磁场中被磁化，介质表面出现磁化电流，改变了原来的磁场。在充满各向同性均匀介质情况下，磁感应强度
B??rB0
μr叫相对磁导率。顺磁质μr＞1，抗磁质μr＜1，两者都接近1，铁磁质，μr>>1。
?(2) 在应用安培环路定理时，为避免出现磁化电流向，引入辅助矢量H
??BH???B??r?0
(3) 在稳恒磁场中
???H?dl??Ii
L此即介质中的安培环路定理，∑Ii是L内传导电流的代数和。
［典型例题］： ????例3-1 已知磁场的磁感应强度B?ai?bj?ck(T)，求通过一开口向Z轴正向半径
2为R的半球的磁通量的大小Φm= c?R Wb。
例3-2有一无限长通电流的扁平铜片，宽度为a，厚度不计，电流I在铜片上均匀分布，在铜片外与铜片共面，离铜片右边缘为b处的P点(如图)的磁感强度B的大小为
(A)
??0I2?(a?b)2?a?0I?Ia?b(C)0ln (D) ［ B ］
?(a?2b)2?bb
(B)
?0Ilna?b b8
练习三
一、选择题
3-1．图中，六根无限长导线互相绝缘，通过电流均为I，区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ均为相等的正方形，哪一个区域指向纸内的磁通量最大?
(A)Ⅰ 区域 (B)Ⅱ 区域 (C)Ⅲ 区域 (D)Ⅳ 区域 (E)最大不止一个 ( )
3-2．如图所示，流出纸面的电流为2I，流进纸面的电流为I，则对于图中的L1、 L2、 L3、 L4回路，下述各式哪一个是正确的? ( )
????(A)?H?dl?2I (B)?H?dl?I
L1L2L3L4????(C)?H?dl??I (D)?H?dl??I
3-3．有一内部充满相对磁导率为μr的均匀磁介质的螺线管，其长为L，半径为a(L>>a)，总匝数为N，通以稳恒电流I，则管中一点的：
(A) 磁感应强度大小B=μrNI/L。 (B) 磁感应强度大小B=μ0μrNI。
(C) 磁场强度大小H=μ0NI/L。 (D) 磁场强度大小H=NI/L。 ( )
二、填空题
?Φ = 。若通过S面上某面元dS的元磁通为dΦ，而线圈中的电流增加为2I
时，通过同一面元的元磁通为dΦ′，则dΦ：dΦ′= 。
3-5．一个绕有500匝导线的平均周长50cm的细环，载有0.3A电流时，铁芯的相对磁导率为600。(1)铁芯中的磁感应强度B为 。(2)铁芯中的磁场强度H为 。
3-6．磁场强度H和磁导率μ的国际单位分别是 和 。
3-7．一半径为R圆筒形的导体，筒壁很簿，可视为无限长，通以电流I，筒外有一层厚为d，磁导率为μ的均匀顺磁性介质，介质外为真空，画出此磁场的H—r图及B—r图。(要求：在图上标明曲线端点的坐标及所代表的函数值，不必写出计算过程)
3-4．真空中有一载有稳恒电流I的细线圈，则通过包围该线圈的封闭曲面S的磁通量
9
第四单元 洛仑磁力 安培力
[知识点精要]
?1. 磁场对运动电荷的作用——洛仑磁力 电荷为q的粒子以速度V在磁场中运动时
???f?qv?B
所受洛仑磁力为
2. 磁场对载流导线的作用——安培力
(1)安培定律 电流元Idl在磁场中受到安培力为
???dF?Idl?B
?????B是Idl所在处的磁感应强度。均匀磁场中一段载流导线受力 F?IL?B
??(2) 磁力矩 磁矩是Pm的任意形状的载流平面线圈，在磁感应强度为B的均匀磁场中
所受力矩为
??其中，磁矩Pm?ISn
(3) 磁力的功和磁力矩的功
???M?Pm?B
磁力的功 载流导线在恒定磁场中移动时，磁力(安培力)的功为
A?I???m
磁力矩的功 载流线圈在恒定磁场中转动时，磁力矩所做的功为
A?I???m
ΔΦm表示通过线圈平面磁通量的增量。
［典型例题］
例4-1 如图一导体板放在磁感应强度为B的匀强磁场中，B的方向垂于导体板的左、右侧面，导体极板的截面形状为矩形，面积为S，且通有电流I，在图示情况下导体板的上侧面将积累 电荷，载流子受的洛仑兹力fm 。 (注：导体板中单位体积内载流子数为n) ???解：导体中自由电子f??ev?B,上侧面积累负电荷f的大小为f?evB
IB ∵ I?envS ∴ f?
nS???例4-2 磁场中某点处的磁感应强度为B=0.04i?0.02j(T)，一电子以速度
10
????77v?50?10i?1.00?10j (m/s)通过该点，则作用于该电子上的磁场力F为
例4-3 一通有电流I的半圆形闭合回路，放在磁感应强度为B的均匀磁场中，回路平面垂于磁场方向，如图所示。求作用在半圆弧ab上的磁力及直径ab段的磁力。
解：
例4-4 如图所示，在均匀磁场B中，置有半圆形线圈(半径为R)。通电流为I，线圈平面平行于磁场，则线圈所受磁力矩大小
为BI?R/2，方向为O?O'，线圈绕OO′轴转过n???/2的 角度时，磁力矩恰为零。
2。
练习四
一、选择题
4-1．一金属板置于均匀磁场中，板中电子流的方向如图所示，试问下述哪一种情况将会发生?
(A)在金属板上a、b两点有电势差，且Ua＞Ub； (B)在金属板上a、b两点有电势差，且Ua＜Ub； (C)金属板上产生涡流；
(D)电子受到洛仑兹力而减速。 ( )
4-2．若一平面载流线圈在磁场中既不受力，也不受力矩作用，这说明： (A) 该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向平行。 (B) 该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向平行。 (C) 该磁场一定均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向垂直。
(D) 该磁场一定不均匀，且线圈的磁矩方向一定与磁场方向垂直。 ( )
4-3．有一由N匝细导线绕成的平面正三角形线圈，边长为a，通有电流I，置均匀外磁场B中，当线圈平面的法向与外磁场同向时，该线圈所受的磁力矩Mm值为：
(A) (C)
3Na2IB2 (B) 3Na2IB4 3Na2IBsin60° (D) 0. ( )
11
4-4．一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕而成，每厘米绕10匝。当导线中的电流I为2.0A时，测得铁环内的磁感应强度的大小B为1.0T，则可求得铁环的相对磁导率μr为 ( ) (A) 7.96×102 (B) 3.98×102 (C) 1.99×102 (D) 63.3
二、填空题：
4-5．一电子以速率v=2.20×106m·s垂直磁力线射入磁感应强度为B=2.36T的均匀磁场，则该电子的轨道磁矩为_____________。其方向与磁场方向_____________。
4-6．若在磁感应强度B=0.02T的均匀磁场中，一电子沿着半径R=1cm的圆周运动，则该电子的动能Ek=__________eV。
4-7．如图一半径为R，通电电流为I的1/4圆弧形载流导线ab，置于均匀外磁场B中，则载流导线所受的安培力大小为_________________。
第4-7题图 第4-8题图 第4-9题图
4-8． A、B、C为三根共面的长直导线，各通有10A的同方向电流，导线间距d=10cm那么每根导线每厘米所受的力的大小为
dFcdFAdFB=_____________, =_____________, =_____________.
dldldl
4-9．如图，有一N匝载流为I的平面线圈(密绕)，其面积为S，则在图示均匀磁场B
?的作用下，线圈所受到的磁力矩为____________。线圈法向矢量n将转向_______________。
4-10．有一磁矩Pm为4×10-10A·m2的平面试验线圈，把它放入待测磁场中的Q点处，试验线圈足够小，以致可以认为它所占据的空间内场是均匀的。当此线圈的Pm与y轴平行时，所受力矩为零；当此线圈的Pm与z轴平行时，所受力矩大小M=8×10-11N·m，方向
12
沿x轴负方向，则空间Q点处的磁场感应强度B的大小为_____________，方向为 。
4-11．将一个通过电流强度为I的闭合回路置于均匀磁场中，回路所围面积的法线方向与磁场方向的夹角为α。若均匀磁场通过此回路的磁通量为Φ，则回路所受力矩的大小为_______________。
4-12．在边长分别为a、b的N匝矩形平面线圈中的流过电流I，将线圈置于均匀外磁场B中，当线圈平面的正法向与外磁场方向间的夹角为120°时，此线圈所受的磁力矩的大小为______________。
4-13．磁场中任一点放一个小的载流试验线圈可以确定该点的磁感应强度，其大小等于放在该点处试验线圈所受的_____________和线圈的_________的比值。
4-14．如图，在粗糙斜面上放有一长为 l 的木制圆柱，已知圆柱质量为m，其上绕有N匝导线，圆柱体的轴线位于导线回路平面内，整个装置处于磁感应强度大小为B、方向竖直向上的均匀磁场中，如图绕组的平面与斜面平行，则当通过回路的电流I=_____________时，圆柱体可以稳定在斜面上不滚动。
4-15．已知载流圆线圈I与载流正方形线圈2在其中心O处产生的磁感应强度大小之比为B1:B2 = 1:2，若两线圈所围面积相等，两线圈彼此平行地放置在均匀处磁场中，则它们所受力矩之比M1:M2 = _______________.
4-16．半径为R的空心载流无限长螺线管，单位长度有n匝线圈，导线中电流为I。今在螺线管中部以与轴成α角的方向发射一个质量为m，电量为q的粒子(如图)。则该粒子初速v0必须小于或等于______________，才能保证它不与螺线管壁相撞。
三、计算题：
4-17．如图所示线框，铜线横截面积S=2.0mm2，其中OA和DO′两段保持水平不动，A B C D段是边长为a的正方形的三边，它可绕OO′轴无摩擦转动。整个导线放在匀强磁场B中，B的方向竖直向上。已知铜的密度ρ=8.9×103kg/m3，当铜线中的电流I=10A时，导线处于平衡状态，AB段和CD段与竖直方向的夹角α=15O。求磁感应强度B的大小。
13
第五单元 电磁感应定律 动生电动势（I）
［知识点精要］
1．法拉第定律：感应电动势?i的大小与通过导体回路的磁通量Φm对时间的变化率成正比：
?i=-
d?m dtd?m dt负号用来判断感应电动势的方向，如果线圈有N匝，则总感应电动势
?i=-N
2．楞次定律：导体回路中感应电流的效果，总是反抗引起感应电流的原因。 3．动生电动势：由于导体运动(切割磁力线)而产生的感应电动势称为动生电动势
L
［典型例题］
例5-1 电量Q均匀分布在半径为a、长为L(L>>R)的绝缘薄壁长圆筒表面上，圆筒以角速度ω绕中心轴线旋转，一半径为2a、电阻为R的单匝圆形线圈套在圆筒上(如图所示)。若圆筒转速按照ω=ω0(1-t/t0)的规律(ω0和t0是已知常数)随时间线性地减小，求圆形线圈中感应电流的大小和流向。
例5-2 如图所示。电量Q均匀分布在一半径为R， 长为L(L>>R)的绝缘长圆筒上。一单匝矩形线圈的一个
R 边与圆筒的轴线重合.若筒以角速度ω=ω0(1-t/t0)线性减 ??速旋转，则线圈中的感应电流为 。
L
例5-3如图所示，长直导线AB中的电流I向上，
并以 dI/dt=2A/s的变化率均匀增长，导线附近放一个与之同面的直角三角形线框，其一边与导线平行，位置及线框尺寸如图所示。求此线框中产生的感应电动势的大小和方向。(μ0=4π×10-3T·m/A)
解：如图建立坐标系，则斜边方程为
y=-2x+0.2
取回路绕行方向为顺时针方向
????i??(v?B)?dl
14
d??BdS?u0IuIdx0.3u0Idx ??2x?0.2?dx??0?2??x?0.05??2??x?0.05?0.1???d????0u0Idx0.1????00.3u0Idx0.1u0I0.3u0I???ln3??2x?0.1??2?
???d?m0.1u0dI0.3u0dI??ln3dt?dt2?dt0.1?4??10?70.3?4??10?7??2??2ln3?2???0.52?10?7V感应电动势方向：逆时针方向
练习五
一、选择题
5-1．如图，一导体棒ab在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁导率为常数，则达到稳定后在电容器的M极板上
(A) 带有一定量的正电荷。 (B) 带有一定量的负电荷。
(C) 带有越来越多的正电荷。 (D) 带有越来越多的负电荷。 ( )
第5-1题图 第5-2题图 第5-3题图
5-2．在如图所示的装置中，当不太长的条形磁铁在闭合线圈内作振动时(忽略空气阻力)，
(A) 振幅会逐渐加大。 (B) 振幅会逐渐减小。
(C) 振幅不变。 (D) 振幅先减小后增大。 ( )
5-3．一矩形线框长为a宽为b，置于均匀磁场中，线框绕OO′轴，以匀角速度ω旋转(如图所示)。设t=0时，线框平面处于纸面内，则任一时刻感应电动势的大小为
(A)2abBcos?t (B)?abB (C)12abBcos?t
15
(D)?abBcos?t (E)?abBsin?t ( ) 5-4．一无限长直导体薄板宽为 l ，板面与Z轴垂直，板的长度方向沿Y轴，板的两侧与一个伏特计相接，如图。整个系统放在磁感应强度为B的均匀磁场中，B的方向沿Z轴正方，如果伏特计与导体平板均以速度v向Y轴正方向移动，则伏特计指示的电压值为 ( )
(A) 0 (B)
12vBl (C) vBl (D) 2vBl
二、填空题
5-5．半径为r的小导线环，置于半径为R的大导线环中心，二者在同一平面内，且r< 5-6．一段导线被弯成圆心在O点、半径为R的三段圆弧ab弧、bc弧、ca弧它们构成了一个闭合回路，ab弧位于XOY平面内，bc弧和ca弧分别位于另两个坐标面中(中图)，均匀磁场B沿X轴正方向穿过圆弧bc弧与坐标轴所围成的平面。设磁感应强度随时间的变化率为K(K＞0)，则闭合回路abca中感应电动势的数值为____________；圆弧bc弧中的感应电流的方向是_________。 5-7．将条形磁铁插入与冲击电流计串联的金属环中时，有q=2.0×10-5C的电荷通过电流计。若连接电流计的电路总电阻R=25Ω，则穿过环的磁通的变化△ Φ=_______________。 5-8．半径为a的无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为n，通以交变电流i=Imsinωt，则围在管外的同轴圆形回路(半径为r)上的感生电动势为______________。 5-9．长为 l 的金属直导线在垂直于均匀磁场的平面内以角速度ω转动。如果转轴在导线上的位置是在_______，整个导线上的电动势为最大，其值为_________；如果转轴位置是在___________整个导线上的电动势为最小，其值为____________。 5-10．在磁感强度为B的磁场中，以速率V垂直切割磁力线运动的一长度为L的金属杆，相当于________。它的电动势ε=__________，产生此电动势的非静电力是___________。 5-11．在图示的电路中，导线AC在固定导线上向右平移。设AC=5cm，均匀磁场随时间的变化率dB/dt =-0.1T/s。某一时刻导线AC的速度v0=2m/s, B=0.5T, x=10cm。 则这 16 时动生电动势的大小为___________，总感应电动势的大小为_________。以后动生电动势的大小随着AC的运动而__________。 第5-11题图 第5-12题图 第5-13题图 5-12如图，aOc为一折成∠形的金属导线(aO=Oc=L)，位于XY平面中，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于XY平面，当aOc以速度沿X轴正向运动时，导线上a、c两点间电势差Uac_______；当aOc以速度沿Y轴正向运动时，a、c两点中_______点电势高。 5-13．如图，等边三角形的金属框，边长为 l ，放在均匀磁场中，ab边平行于磁感应强度B，当金属框绕a b边以角速度ω转动时，则bc边的电动势为___________，c a边的电动势为__________金属框内的总电动势为___________(规定电动势沿abca绕为正值) 三、计算题： 5-14．一长圆柱状磁场，磁场方向沿轴线并垂直图面向里，磁场大小既随到轴线的距离r成正比而变化，又随时间t作正弦变化，即：B=B0rsinωt，B0、ω均为常数，若在磁场内放一半径为a的金属圆环，环心在圆柱状磁场的轴线上，求金属环中的感生电动势。 5-15．两根平行无限长直导线相距为d，载有大小相等方向相反的电流I，电流变化率dI/dt=α＞0。一个边长为d的正方形线圈位于导线平面内与一根导线相距d，如图所示。求线圈中的感应电动势ε，并说明线圈中的感应电流是顺时针还是逆时针方向。 17 第六单元 动生电动势（II） 感生电动势 ［知识点精要］ 1. 动生电动势：非均匀磁场中 ????i??(v?B)?dl L产生的动生电动势的非静电力是洛仑兹力。 2．感生电动势，由于磁场变化引起静止回路中磁通量变化所产生的感应电动势叫感生电动势。 ??d?m???i??E?dl dtL产生感生电动势的非静电力是涡旋电场力 ［典型例题］ 例6-1 如图所示，一根长为L的金属细杆ab绕竖直轴O1O2以角速度ω在水平面内旋转，O1O2在离细杆a端L/5处。若已知地磁场 在竖直方向的分量为B。求ab两端间的电势差Ua-Ub。 例6-2 如图所示，一长直导线通有电流I，其旁共面地放置一匀质金属梯形线框a b c d a，已知：da=ab=bc=L，两斜边与下底边夹角均为60°，d点与导线相距为 l 。今线框从静止开始自由下落H高度，且保持线框平面与长直导线始终共面，求： (1)下落H高度后瞬间，线框中的感应电流为多少? (2)该瞬时线框中电势最高处与电势最低处之间的电势差为多少? 解：(1)由于线框垂直下落，线框所包围面积内的磁通量无变化，故感应电流Ii=0 (2)设dc边长为 l′，则由图可见 l′=L+2Lcos60°=2L 取d→c的方向为dc边内感应电动势的正向，则 ?dc???v?B??dl??vBdlddccu0Idr02?(r?l) uIl'?l?02gHln2?luIl?2L?02gHln2?l??l'2gH?18 cd段内电动势ε的方向d→c 由于回路内无电流， Vcd?Uc?Ud??dc?u0I2?2gHln2L?l l因为c点电势最高，d点电势最低，故V为电势最高处与电势最低处之间的电势差。 例6-3 一长直导线载有电流I，在它的旁边有一段直导线AB(AB=L),长直载 流导线与直导线在同一平面内，夹角为θ。直导线AB以速度V(V的方向垂直于载流导线)运动。已知：I=100A，v=5.0m/s，θ=30°，a=2cm，AB=16cm，求： (1)在图示位置AB导线中的感应电动势ε． (2)A和B哪端电势高。 解：(1)AB中的感应电动势为动生电动势，如图所示，d l 所在处的磁感应强度为 B?u0I/(2?r) dl与dr的关系为 dl =dr/sinθ，令 b?a?Lsin?，AB中 的感应电动势为 ??I???i??(v?B)?dl??v0cos?dl 2?rLLb??u0IvuIvdrLsin??acos??0ctg?ln?2.79?10?4V 2?rsin?2?aa(2) B端电势高。 例6-4 在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示，B的大小以速率dB/dt变化，有一长度为B的金属棒先后放在磁场的两个不同位置 l (ab)和2(a′b′)，则金属棒在这两个位置时棒内的感应电动势的大小关系为： ( ) (A)?1=?2≠0； (B) ?2＞?1； (C) ?2＜?1； (D) ?2=?1=0。 例6-5 如图所示，在半径为R的无限长直圆柱形空间内，存在磁感应强度为B的均匀磁场，B的方向平行于圆柱轴线，垂直于圆柱轴线的平面内有一无限长直导线，两线相距为d，且d＞R。已知dB/dt=kt，k＞0，求长直导线中的感应电动势的大小和方向。 解：选图示回路，回路沿半径向外直至无穷远与直线构成闭合回 19 路，则 Φm=πR2B/2 ε= 1d?mdB1=?πR2=??R2kt 2dldt22感应电动势的大小｜ε｜=12?Rkt，方向在直导线中由左向右。 例6-6 在垂直图面的圆柱形空间内有一随时间均匀变化的匀强磁场，其磁感强度的方向垂图面向里。在图面内有两条相交于O点夹角为60°的直导线Oa和Ob，而O点则是圆柱形空间的轴线与图面的交点。此外，在图面内另有一半径为r的半圆环形导线在上述两条直导线上以速度V匀速滑动，V的方向与∠aOb的平分线一致，并指向O点(如图)。在时刻t，半圆环的圆心正好与O点重合，此时磁感应强度的大小为B，磁感应强度大小随时间的变化率为k(k为正数)。求此时半圆环导线与两条直线所围成的闭合回路cOdc中的感应电动势ε。 提示：?i??1??2，其中 d?md(BS)?r2dB?r2?1????k,方向逆时针 dtdt6dt6?2??cd?Bvcd?Bvr,方向c?d k?r2??i??Brv,方向逆时针。 6 例6-7 如图所示，在等边三角形平面回路ACDA中存在磁感应强度为B的均匀磁场，其方向垂直于回路平面。回路上的CD段为滑动导线，它以匀速V远离A端运动，并始终保持回路是等边三角形。设滑动导线CD到A端的垂直距离为X，且时间t=0时，X=0。试求在下述两种不同的磁场情况下，回路中的感应电动势ε和时间t的关系： ???(1) B?B0=常矢量。 （2）B?B0t,B0?常矢量。 提示：选择A→C→D→A为ε的正绕向 (1) 由动生电动势公式有： ε=vB｜CD｜ 20 其中｜CD｜=2xtg30°，B?B0，x=vt (2) 设由于磁场变化产生的感生电动势为?1，则 ?1??动生电动势?2: d?dB3?S?B0x2tg300?B0(vt)2 dtdt3?2?vBCD ? ???1??2??? 练习六 一、选择题 6-1．在圆柱形空间内有一磁感应强度为B的均匀磁场，如图所示。B的大小以速率dB/dt变化。在磁场中有A、B两点，其间可放直导线AB和AB弯曲的导线，则： (A)电动势只在AB导线中产生。 (B)电动势在直AB和弯AB中都产生，且两者大小相等。 (C)电动势只在AB导线中产生。 (D)直AB导线中的电动势小于弯AB导线中的电动势。( ) 6-2．一块铜板放在磁感应强度正在增大的磁场中时，铜板中出现涡流(感应电流)，则涡流将： (A)加速铜板中磁场的增加。 (B)减缓铜板中磁场的增加。 (C)对磁场不起作用。 (D)使铜板中磁场反向。 ( ) 6-3．尺寸相同的铁环与铜环所包围的面积中，通以相同变化率的磁通量，环中： (A) 感应电动势相同，感应电流不同。(B) 感应电动势相同，感应电流相同。 (C) 感应电动势不同，感应电流相同。 (D) 感应电动势不同。 ( ) ???d?6-4．感应电场中电磁感应定律可写成?Ek?dl?，式中Ek为感应电场的电场强 ldt度。此式表明： (A)闭合曲线l上Ek处处相等。 (B)感应电场是保守力场。 (C)感应电场的电力线不是闭合曲线。 (D)在感应电场中不能象对静电场那样引入电势的概念。 ( ) 21 二、填空题 6-5．载有恒定电流I的长直导线旁有一半圆环导线cd，半圆环半径为b，环面与直导线垂直，且半圆环两端点连线的延长 ?线与直导线相交，如图。当半圆环以速度v沿平行于直导线的方向平移时，半圆环上的感应电动势的大小是 。 6-6．如图所示，一导线构成一正方形线圈然后对折，并使其平面垂直置于均匀磁场B。当线圈的一半不动，另一半以角速度ω张开时(线圈边长为2 l )，线圈中感应电动势的大小ε=___________。(设此时的张角为θ，见图) 三、计算题 6-7．载有电流I的长直导线附近，放一导体半圆环MeN与长直导线共面，且端点MN连线与长直导线垂直。半圆环的半径为b，环心O与导线相距a。设半圆环以速度V平行导线平移，求半圆环内感应电动势的大小和方向以及MN两端的电压U M-U N。 6-8．两根平行放置相距为2a的无限长载流直导线，其中一根通以稳恒电流I0，另一根通以交变电流I = I0 cos(ωt )。两导线间有一与其共面的矩形线圈，线圈的边长分别为 l 和2b，l边与长直导线平行，且线圈以速度v垂直导线向右运动(如图)。当线圈运动到两导线的中心位置(即线圈中心线与距两导线均为a的中心线重合)时，两导线中的电流方向恰好相反，且i = I0，求此时线圈中的感应电动势。 6-9．如图所示，长直导线中电流为i，矩形导线框abcd与长直导线共面，且ad∥AB，dc边固定，ab边沿da及cb以速度v无摩擦地匀速平动，设线框自感忽略不计，t=0时，ab边与dc边重合。 （1）如i = I0，I0为常量，求ab中的感应电动势，a、b两点哪点电势高? （2）如I = I0 cos(ωt )，求线框中的总感应电动势。 ?22 第七单元 自感与互感 磁场能量 ［知识点精要］ 1.自感和互感 (1) 自感电动势 线圈中电流变化在自身中产生的感生电动势 ?i??LdI dt（2）互感电动势 相邻两线圈，其中一线圈中电流变化引起另一线圈中产生的感生电动势。 ?21??M21dI1dI ?12??M122 dtdt2.磁场的能量 (1) 载流线圈中磁场的能量 一个载流线圈，在通电的过程中，电源克服线圈上自感电动势做功，因而载流线圈中具有能量。 Wm?12LI 2(2) 磁能密度 建立电流的过程，也是建立磁场的过程，实际上能量储存在磁场中，单位体积中的磁场能量(磁能密度)为 1B211wm???H2?BH 2?22(3) 磁场的能量： Wm?wmdV?v?1BHdV ?2v ［典型例题］ 例7-1 一无限长直导线通有电流i?I0e,I0为常量，一矩形线圈与长直导线共面放置，其长边与导线平行，位置如图所示。求： (1)矩形线圈中感应电动势的大小及感应电流的方向； (2)导线与线圈的互感系数。 例7-2有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形线圈的中心轴OO′上，则直导线与矩形线圈间的互感系数为_____________。 ?3t 23 例7-3 两根很长很长的平行直导线，其间距离为d、与电源组成回路如图。已知导线上的电流为I，两根导线的横截面的半径均为r0。设用L表示两导线回路单位长度的自感系数，则沿导线单位长度的空间内的总磁能Wm为 12?0I2d12(A)LI (B)LI?ln (C)∞ 222?r0???I?0I?122(D)LI?I??0???rdr （ ） r02?r22?(d?r)??2 例7-4 两根很长的平行直导线，其间距离为d，与电源组成闭合回路，图同上。已知导线上的电流强度为I，在保持I不变的情况下，若将导线间的距离增大，则空间的 (A)总磁能将增大。 (B)总磁能将减少。 (C)总磁能将保持不变。 (D)总磁能的变化不能确定。 ( ) r0?d解：?m?2r0??0I?Ild?r0 ldx?0ln2?x?r0?0ld?r0dI?ld?r0ln， ∴ L?0ln ?r0dt?r0若I=I(t)，则??磁能Wm?12LI拉得越开(d越大)? L越大?Wm越大。 2 例7-5 如图，两个线圈P和Q并联地接到一电动势恒定的电源上。线圈P的自感和电阻分别是线圈Q的两倍，线圈P和Q之间的互感可忽略不计。当达到稳定状态后，线圈P的磁场能量与Q的磁场能量的比值是 ( ) (A) 4 (B) 2 (C) 1 (D) 1/2 解：两线圈中的电流之比 IpIQ?RQRp?1 2112LPIP?2?12W1从而磁能之比 P?2?2?WQ1LI21?1?222QQ22 ∴ 选D 24 练习七 一、选择题 7-1．用线圈的自感系数L来表示载流线圈磁场能量的公式Wm?1LI2 2(A) 只适用于单匝圆线圈。 (B) 只适用于一个匝数很多，且密绕的螺线环。 (C) 适用于自感系数L一定的任意线圈。 ( ) (D) 只适用于无限长密绕螺线管。 7-2．自感为0.25H的线圈中，当电流在(1/16)s内由2A均匀减小到零时，线圈中自感电动势的大小为： ( ) (A) 7.8×10-3V (B )2.0V (C) 8.0V (D) 3.1×10-2V 7-3．一个电阻为R，自感系数为L的线圈，将它接在一个电动势为ε(t)的交变电源上，线圈的自感电动势为?L??Ldi，则流过线圈的电流为： dt(A) ε(t)/R (B) ［ε(t)-?L］/R (C) ［ε(t)+ ?L］/R (D) ?L/R ( ) 7-4．对于单匝线圈取自感系数的定义式为L=Φ/I。当线圈的几何形状、大小及周围磁介质分布不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数L (A)变大，与电流成反比关系。 (B)变小。 (C)变大，但与电流不成反比关系。 (D)不变 ( ) 二、填空题： 7-5．一个薄壁纸筒，长为30cm、截面直径为3cm，筒上绕有500匝线圈，纸筒内由μr=5000的铁芯充满，则线圈的自感系数为_____________。 7-6．半径为R的无限长柱形导体上均匀流有电流I，该导体材料的相对磁导率μr =1，则大导体轴线上一点的磁场能量密度为wmo=____________，在与导体轴线相距r处(r 7-7．在一根铁芯上，同时绕有两个线圈。初级线圈的自感应系数为L1，次级线圈的自感应系数L2。设两个线圈通以电流时，各自产生的磁通量全部穿过两个线圈。若初级线圈中通入变化电流i1(t)，次级线圈断开。则次级线圈中感应电动势为ε2 =_________。 25 第八单元 位移电流 麦克斯韦方程组 ［知识点精要］ 1．位移电流 (1) 位移电流 位移电流假说的中心思想是变化着的电场也能激发磁场。通过某曲面的位移电流强度Id等于该曲面电位移通量的时间变化率，即 ??d?DId?,?D???D?dS dt式中，?D表示穿过该曲面的电位移通量，它相当于“位移电荷”，而 dD相当于“位移电流dt密度矢量”。充电时Id与E方向相同；放电时Id与E方向相反。 (2) 全电流定律 通过某截面的全电流等于通过该截面的传导电流I和位移电流Id的代数和，即 I全?I?Id全电流总是连续的。于是，在一般情况下安培环路定理推广为 ?H?dl?I全?I?Id 2.麦克斯韦方程组 麦克斯韦把电磁场的规律归结为一组方程（略）；考虑到介质的影响时，还要附加三个物质方程： ????D??E B??H J??E ［典型例题］ 例8-1 对位移电流，有下述四种说法，请指出哪一种说法正确。 (A)位移电流是由变化电场产生的。 (B)位移电流是由线性变化磁场产生的。 (C)位移电流的热效应服从焦耳一楞次定律。 (D)位移电流的磁效应不服从安培环路定理。 ( ) 例8-2 充了电的由半径为r的两块圆板组成的平行板电容器，在放电时两板间的电 ?tRC场强度的大小为E?E0e，式中E0、R、C均为常数，则两板间的位移电流的大小为_________，其方向与场强方向_________。 ??d?DdDdE1?解： Id??S??0S??0?r2E0eRC??0?r2E0eRC dtdtdtRCRCtt与电场方向相反。 26 练习八 一、选择题 8-1．空气中有一无限长金属薄壁圆筒，在表面上沿圆周方向均匀地流着一层随时间变化的面电流i(t)，则： ( ) (A)圆筒内均匀地分布着变化磁场和变化电场。 (B)任意时刻通过圆筒内假想的任一球面的磁通量和电通量均为零。 (C)沿圆筒外任意闭合环路上磁感应强度的环流不为零。 (D)沿圆筒内任意闭合环路上电场强度的环流为零。 ?8-2．如图，平板电容器(忽略边缘效应)充电时，沿环路L1、L2磁场强度H的环流中， (A)(C) 必有： （ ） L1?H?dL??H?dL (B) ?H?dL??H?dL L2L1L2L2L1L1?H?dL??H?dL (D) ?H?dL?0 8-3．图示为一圆柱体的横截面，圆柱体内有一均匀电场E，其方向垂直纸面向内，E的大小随时间t线性增加，p为柱体内与轴线相距为r的点，则 (1)p点的位移电流密度的方向为_____________； (2)p点感生磁场的方向为_______________。 8-4．平行板电容器的电容C为20.0μF，两板上的电压变化率为dU/dt =1.50×106 V·S-1，则平行板电容器中的位移电流为________。 8-5．反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为 ??D?dS??q， ①； SC?E?dl???d?m， ②； dtd?D， ④ dt??B?dS?0， ③； SH?dl??I?C试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的。将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。(1)变化的磁场一定伴随有电场，_____________；(2)磁感应线是无头无尾的，_______________；(3)电荷总伴随有电场，______________。 27 第九单元 电磁场小结 练习九 一 选择题 9-1．在磁感强度为B的均匀磁场中作一半径为r的半球面S，S边 ?S 线所在平面的法线方向单位矢量n与B的夹角为 ，则通过半球面S 的磁通量(取弯面向外为正)为 ? (A) πr2B． . (B) 2 r2B． ??B?(C) -πr2Bsinα． (D) -πr2Bcosα． ［ ］ n 9-2．如图，边长为a的正方形的四个角上固定有四个电荷均为q的点电荷．此正方形以角速度?绕AC轴旋转时，在中心O点产生的磁感强度大小为B1；此正方形同样以角速度?绕过O点垂直于正方形平面的轴旋转时，在O点产生的磁感强度的大小为B2，则B1与B2间的关系为 q A q (A) B1 = B2． (B) B1 = 2B2． (C) B1 = 9-3．载流的圆形线圈(半径a1 )与正方形线圈(边长a2 ) 通有相同电流I．若两个线圈的中心O1 、O2处的磁感强度大小相同，则半径a1与边长a2之比a1∶a2为 (A) 1∶1 (B) (C) 1B2． (D) B1 = B2 /4． [ ] 2O q q C a2 a1 O1 I O2 I 2?∶1 2?∶8 [ ] 2?∶4 (D) 9-4．如图，在一固定的载流大平板附近有一载流小线框能自由转动或 I1 平动．线框平面与大平板垂直．大平板的电流与线框中电流方向如图所示，则通电线框的运动情况从对着大平板看是： (A) 靠近大平板． (B) 顺时针转动． I2 (C) 逆时针转动． (D) 离开大平板向外运动． ［ ］ 9-5．如图所示的一细螺绕环，它由表面绝缘的导线在铁环上密绕 而成，每厘米绕10匝．当导线中的电流I为2.0 A时，测得铁环内的磁感应强度的大小B为1.0 T，则可求得铁环的相对磁导率μr为(真空磁导率μ0 =4π×10-7 T·m·A-1) (A) 7.96×102 (B) 3.98×102 (C) 1.99×102 (D) 63.3 ［ ］ 28 ?9-6．半径为a的圆线圈置于磁感强度为B的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向垂直， ?线圈电阻为R；当把线圈转动使其法向与B的夹角α=60°时，线圈中通过的电荷与线圈 面积及转动所用的时间的关系是 ［ ］ (A) 与线圈面积成正比，与时间无关． (B) 与线圈面积成正比，与时间成正比． (C) 与线圈面积成反比，与时间成正比． (D) 与线圈面积成反比，与时间无关． ?9-7．如图所示，直角三角形金属框架abc放在均匀磁场中，磁场B平行于ab边，bc的长度为l．当金属框架绕ab边以匀角速度?转动时，abc回路中的感应电动势ε和a、c 两点间的电势差Ua – Uc为 1B?l2． 212(B) ε=0，Ua – Uc =?B?l 2122(C) ε=B?l，Ua – Uc =B?l 2122(D) ε=B?l，Ua – Uc =?B?l． ［ ］ 2(A) ε=0，Ua – Uc = b ?? l ?B c a 9-8．有两个长直密绕螺线管，长度及线圈匝数均相同，半径分别为r1和r2．管内充满均匀介质，其磁导率分别为μ1和μ2．设r1∶r2=1∶2，μ1∶μ2=2∶1，当将两只螺线 管串联在电路中通电稳定后，其自感系数之比L1∶L2与磁能之比Wm1∶Wm2分别为： (A) L1∶L2=1∶1，Wm1∶Wm2 =1∶1． (B) L1∶L2=1∶2，Wm1∶Wm2 =1∶1． (C) L1∶L2=1∶2，Wm1∶Wm2 =1∶2． (D) L1∶L2=2∶1，Wm1∶Wm2 =2∶1． [ ] 9-9．用导线围成的回路(两个以O点为心半径不同的同心圆， O O ??在一处用导线沿半径方向相连)，放在轴线通过O点的圆柱形均匀 ?B?(B) ?B?(A) 磁场中，回路平面垂直于柱轴，如图所示．如磁场方向垂直图面 向里，其大小随时间减小，则(A)→(D)各图中哪个图上正确表示 O O ??了感应电流的流向？ ［ ］ BB??(C) ??(D) 二 填空题 9-10．将半径为R的无限长导体薄壁管(厚度忽略)沿轴向割去一宽度为h ( h << R)的无限长狭缝后，再沿轴向流有在管壁上均匀分布的电流，其面电流密度(垂直于电流的单位长度截线上的电流)为i (如上图)，则管轴线磁感强度的大小是__________________ 9-11．如图所示，一半径为R，通有电流为I的圆形回路，位于Oxy平面内，圆心为 ?O．一带正电荷为q的粒子，以速度v沿z轴向上运动，当带正电荷的粒子恰好通过O点时，作用于圆形回路上的力为________，作用在带电粒子上的力为________． 29 O h R z ? v x q O y I1 I2 i O′ y 3I O I x 第9-10题图 第9-11题图 第9-12题图 第9-13题图 9-12．有两个竖直放置彼此绝缘的圆形刚性线圈(它们的直径几乎相等)，可以分别绕它们的共同直径自由转动．把它们放在互相垂直的位置上．若给它们通以电流（如图），则它们转动的最后状态是_______________________________． 9-13．在xy平面内，有两根互相绝缘，分别通有电流3I和I的长直导线．设两根导线互相垂直(如图)，则在xy平面内，磁感强度为零的点的轨迹方程为 。 9-14．一面积为S的平面导线闭合回路，置于载流长螺线管中，回路的法向与螺线管轴线平行．设长螺线管单位长度上的匝数为n，通过的电流为I?Imsin?t（电流的正向与回路的正法向成右手关系），其中Im和ω为常数，t为时间，则该导线回路中的感生电动势为____ _____． 9-15．如图所示，一段长度为l的直导线MN，水平放置在载电流为I的竖直长导线旁与竖直导线共面，并从静止由图示位置自由下落，则t秒末导线两端的电势差UM-UN = 。 I O t M N I ? a l t L第9-15题图 第9-16题图 9-16．一线圈中通过的电流I随时间t变化的曲线如图所示．试定性画出自感电动势εL随时间变化的曲线．(以I的正向作为ε的正向) ?9-17．面积为S的平面线圈置于磁感强度为B的均匀磁场中．若线圈以匀角速度绕意时刻t时通过线圈的磁通量为_____________，线圈中的感应电动势为___________．若 ??位于线圈平面内且垂直于B方向的固定轴旋转。在时刻t = 0，B与线圈平面垂直．则任 30 ?均匀磁场B是由通有电流I的线圈所产生，且B =kI (k为常量)，则旋转线圈相对于产生磁 场的线圈最大互感系数为______________． ?9-18．坡印廷矢量S的物理意义： ________________ ______________________； 其定义式为 ____________________． 三 计算题 9-19．（本题5分）一根很长的圆柱形铜导线均匀载有10 A电流，在导线内部作一平面S，S的一个边是导线的中心轴线，另一 边是S平面与导线表面的交线，如图所示．试计算通过沿导线长度 S 方向长为1m的一段S平面的磁通量． (真空的磁导率μ0 =4π×10-7 T·m/A，铜的相对磁导率μr≈1) 9-20．（本题5分）螺绕环中心周长l = 10 cm，环上均匀密绕线圈N = 200匝，线圈中通有电流I = 0.1 A．管内充满相对磁导率μr = 4200的磁介质．求管内磁场强度和磁感强度的大小． 9-21．（本题10分）一内外半径分别为R1, R2的均匀带电平面圆 ? (t) 环，电荷面密度为，其中心有一半径为r的导体小环(R1>>r)，二者 R2 同心共面如图．设带电圆环以变角速度ω（t）绕垂直于环面的中心R1 r 轴旋转，导体小环中的感应电流i等于多少？方向如何(已知小环的 电阻为R＇)？ ?? 9-22．（本题10分）如图所示，在纸面所在的平面内有一载有C 电流I的无限长直导线，其旁另有一边长为l的等边三角形线圈 D l I ?ACD．该线圈的AC边与长直导线距离最近且相互平行．今使线圈v ??ACD在纸面内以匀速v远离长直导线运动，且v与长直导线相垂 a A 直．求当线圈AC边与长直导线相距a时，线圈ACD内的动生电动势． 9-23．（本题5分）一螺绕环单位长度上的线圈匝数为n =10匝/cm．环心材料的磁导率μ=μ0．求在电流强度I为多大时，线圈中磁场的能量密度w =1 J/ m3？ (μ0=4π×10-7 T·m/A) 9-24．（本题5分）给电容为C的平行板电容器充电，电流为i = 0.2e-t ( SI )，t = 0时电容器极板上无电荷．求： (1) 极板间电压U随时间t而变化的关系． (2) t时刻极板间总的位移电流Id (忽略边缘效应)． 31 第十单元 光的双缝干涉 ［典型例题］ 例10-1. 在真空中波长为λ的单色光，在折射率为n的透明介质中从A沿某路径传播到B，若A、B两点位相差为3?，则此路径AB的光程为 ( ) (A) 1.5λ (B) 1.5nλ (C) 3λ (D) 1.5λ/n 例10-2. 如图所示，波长为λ的平行单色光斜入射到距离为d的双缝上，入射角为θ。在图中的屏中央O处(S1O?S2O)，两束相干光的位相差为____________。 例10-3. 双缝干涉实验装置如图所示，双缝与屏之间的距离D=120cm，两缝之间的距离d=0.50mm，用波长λ=5000A°的单色光垂直照射双缝。 (1) 求原点O(零级明条纹所在处)上方的第五级明条纹的坐标X (2) 如果用厚度 l?1.0?10?2mm，折射率n=1.58的透明薄膜复盖在图中的S2缝后面，求上述第五级明条纹的坐标x′ 解：(1)r2?r1?5?又r2?r1?dx DD?6mm dx(2)r2'?(n?1)l?r1'?5?，又r2'?r1'?d DD∴ x??[5??(n?1)l]??8mm d∴ x?5?例10-4. 薄钢片上有两条紧靠的平行细缝，用波长λ=5461?的平面光波正入射到钢片上，屏幕距双缝的距离为D=2.00m，测得中央明条纹两侧的第五级明条纹间的距离为△x=12.0mm。 (1) 求两缝间的距离 (2) 从任一明条纹(记作0)向一边数到第20条明条纹，共经过多大距离? (3) 如果使光波斜入射到钢片上，条纹间距将如何改变? 解：(1)由xk?k?(2) ?x20(3) 中央明纹偏向另一侧，条纹间距不变。 DD， 得 ?x?x5?x?5?10? dd10?D∴ d??0.91mm ?x?2?x?2?12.0?24.0mm 32 例10-5. 在双缝干涉实验中，单色光源S0到两缝S1和S2的距离分别为l1和l2，并且 l1?l2?3?，λ为入射光的波长，双缝之间的距离为d，双缝到屏幕的距离为D，如图. 求： (1) 零级明纹到屏幕中央O点的距离. (2) 相邻明条纹间的距离. 解：(1)如图，设P0为零级明纹中心，则 ??(l1?r1)?(l2?r2)?0, ??r2?r1?l1?l2 又 P0Or2?r1?，∴P0O?3D?/d Dd(2) 在屏上距O点为x处， dx?3? D明纹条件 δ=±kλ (k=1,2,3,…) ∴ xk=(kλ+3λ)D/d ∴ Δxk=xk+1-xk=Dλ/d 光程差 ?? 练习十 一、选择题： 10-1. 在双缝干涉实验中，为使屏上的干涉条纹间距变大，可以采取的办法是： (A)使屏靠近双缝； (B)使两缝的间距变小； (C)把两个缝的宽度稍微调窄；(D)改用波长较小的单色光源。 ( ) 10-2. 在双缝干涉实验中，若单色光源S到两缝S1S2距离相等，则观察屏上中央明条纹位于图中O处，现将光源S向下移动到示意图中的S′位置，则： (A)中央明条纹也向下移动，且条纹间距不变； (B)中央明条纹向上移动，且条纹间距增大； (C)中央明条纹向下移动，且条纹间距增大； (D)中央明条纹向上移动，且条纹间距不变； ( ) 10-3．在双缝干涉实验中，双缝间距为2mm，双缝与屏的间距为300cm，入射光的波长为600nm，在屏上形成的干涉图样的明条纹间距为(1nm=10-9m)。 ( ) (A) 4.5mm (B) 0.9mm (C) 3.1mm (D) 1.2mm 10-4．真空中波长为λ的单色光，在折射率为n的均匀透明媒质中，从A点沿某一路径传播到B点，路径的长度为l，A、B两点光振动位相差记为△φ，则 33 (A) l=3λ/2时， △φ=3π. (B) l=3λ/(2n)时，△φ=3nπ. (C) l=3λ/(2n)时，△φ=3π. (D) l=3nλ/2时， △φ=3nπ ( ) 10-5．在双缝干涉实验中，入射光的波长为λ，用玻璃纸遮住双缝中的一个缝，若玻璃纸中光程比相同厚度的空气的光程大2.5λ，则屏上原来的明纹处 (A) 仍为明条纹； (B) 变为暗条纹； (C) 既非明纹也非暗纹； (D) 无法确定是明纹，还是暗纹 ( ) 二、填空题： 10-6．在双缝干涉实验中，所用单色波长为λ=562.5nm，双缝与观察屏的距离 D=1.2m，若测得屏上相邻明条纹间距为△x=1.5mm则双缝的间距d= 。 10-7．如图所示，在双缝干涉实验中 SS1=SS2用波长为λ的光照射双缝S1和S2，通过空气后在屏幕E上形成干涉条纹。已知P点处为第三级明条纹，则S1和S2到P点的光程差为 ，若将整个装置放于某种透明液体中，P点为第四级明条纹，则该液体的折射率为n= 。 10-8．如图所示，假设有两个同相的相干点光源S1和S2，发出波长为λ的光。A是它们连线的中垂线上的一点，若在S1与A之间插入厚度为e、折射率为n的薄玻璃片，则两光源发出的光在A点的位相差△φ= 。若已知λ=5000?，n=1.5，A点恰为第四级明纹中心，则e= ? 10-9．光强均为 l0的两束相干光相遇而发生干涉时，在相遇区域内有可能出现的最大光强是 。 10-10. 若一双缝装置的两个缝分别被折射率为n1和n2的两块厚度均为e的透明介质所遮盖，此时由双缝分别到屏上原中央极大所在处的两束光的光程差δ=_______________。 10-11. 在双缝干涉实验中，双缝间距为d,双缝到屏的距离为D(D>>d)，测得中央零级明纹与第五级明纹之间的距离为x，则入射光的波长为 ________________。 10-12. 在双缝干涉实验中，两缝分别被折射率为n1和n2的透明薄膜遮盖，二者的厚度均为e。波长为λ的平行单色光垂直照射到双缝上，在屏中央处，两束相干光的位相差△φ=________________。 34 三、计算题： 10-13．在双缝干涉实验中，若用半圆筒形薄玻璃片(折射率n1=1.4)覆盖缝S1，用同样厚度的玻璃片(折射率n2=1.7)覆盖缝S2，将使屏原来未放玻璃时的中央明条纹所在处O变为第五级明纹，设单色光波长λ=4800?，求玻璃片的厚度t。 10-14．白色平行光垂直入射到间距为d=0.25mm的双缝上，距缝50cm处放置屏幕，分别求第一级和第五级明纹彩色带的宽度。(设白光的波长范围是从4000?到7600?)。 10-15．在双缝干涉实验中，双缝间距d=0.45mm，双缝与屏间距离D=1.2m，若测得屏上干涉条纹相邻明条纹间距为1.5mm，求光源发出的单色光的波长λ。 10-16．在双缝干涉实验中，波长?＝550 nm的单色平行光垂直入射到缝间距d＝2×-4 10 m的双缝上，屏到双缝的距离D＝2 m．求： (1) 中央明纹两侧的两条第10级明纹中心的间距； - (2) 用一厚度为e＝6.6×105 m、折射率为n＝1.58的玻璃片覆盖一缝后，零级明纹将 -移到原来的第几级明纹处？(1 nm = 109 m) 35 第十一单元 光的薄膜干涉 ［典型例题］ 例11-1．白光垂直照射到空气中一厚度为e=3800?的肥皂膜上，肥皂膜的折射率n=1.33，在可见光的范围内(4000?—7600?)，哪些波长的光在反射中增强? 解：上表面反射有半波损失，计算光程差时需要增加附加的半波长 2ne+λ/2=kλ， 依题意 4000?≤λ=4ne/(2k-1)≤7600?， (k取正整数) 由此可得：当k=2，λ=6739?； k=3，λ=4043? 例11-2．用波长λ=500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直照射在由两块玻璃板(一端刚好接触成为劈棱)构成的空气劈尖上，劈尖角θ=2×10-4rad。如果劈尖内充满折射率为n=1.40的液体，求从劈棱数起第五个明条纹在充入液体前后移动的距离。 解：第5个明纹，k=5，则 2ne+λ/2=5λ， 即e=9λ/4n ∴ l 0=e0/θ=9λ/4θ， l =e/θ=9λ/4nθ ∴ Δl=l0-l′ =[9λ(1-1/n)]/4θ=1.6mm 例11-3．在 Si的平表面上形成了一层厚度均匀的SiO2的薄膜，为了测量薄膜厚度，将它的一部分腐蚀成劈形(示意图中的AB段)。现用波长为6000?的平行光垂直照射，观察反射光形成的等厚干涉条纹。在图中AB段共有8条暗纹，且B处恰好是一条暗纹，求薄膜的厚度。(Si折射率3.42，SiO2折射率为1.50)。 解：上下表面反射都有半波损失，计算光程差时不必考虑附加的半波长，设膜厚为e B处暗纹2ne=(2k+1)λ/2， (k=0,1,2,…) B处第8条暗纹对应上式 k=7 ∴ e=(2k+1)λ/4n=1.5×10-3mm 例11-4．若在迈克尔逊干涉仪的可动反射镜M移动0.620mm的过程中，观察到干涉条纹移动了2300条，则所用光波长为 。 36 练习十一 一、选择题： 11-1. 两块平玻璃构成空气劈尖，左边为棱边，用单色平行光垂直入射，若上面的平玻璃慢慢地向上平移，则干涉条纹 ( ) (A) 向棱边方向平移，条纹间隔变小。(B) 向棱边方向平移，条纹间隔变大。 (C) 向棱边方向平移，条纹间隔不变。(D) 向远离棱边的方向平移，条纹间隔不变。 (E) 向远离棱边的方向平移，条纹间隔变小。 11-2．用劈尖干涉法可检测工件表面缺陷，当波长为λ的单色平行光垂直入射时，若观察到的干涉条纹如图所示，每一条纹弯曲部分的顶点恰好与其左边条纹的直线部分的连线相切，则工件表面与条纹弯曲处对应的部分： ( ) (A)凸起，且高度为λ/4 (B)凸陷，且高度为λ/2 (C)凹陷，且深度为λ/2 (D)凹陷，且深度为λ/4 11-3. 检验滚珠大小的干涉装置示意如图(a)．S为光源，L为会聚透镜，M为半透半反镜．在平晶T1、T2之间放置A、B、C三个滚珠，其中A为标准件，直径为d0．用波长为?的单色光垂直照射平晶，在M上方观察时观察到等厚条纹如图(b)所示．轻压C端，条纹间距变大，则B珠的直径d1、［ ］ (A) d1＝d0＋?，d2＝d0＋3?． (B) d1＝d0-?，d2＝d0－3?． (C) d1＝d0＋????2，d2＝d0＋?． (D) d1＝d0-???2，d2＝d0－??． 11-4. 在折射率为n′=1.68的平板玻璃表面涂一层折射率为n=1.38的MgF2透明薄膜，可以减少玻璃表面的反射光。若用波长λ=500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直入射，为了尽量减少反射，则MgF2薄膜的最小厚度应是： ( ) (A)90.6nm (B)78.1nm (C)181.2nm (D)156.3nm 11-5. 单色平行光垂直照射在薄膜上，经上下两表面反射的两束光发生干涉，如图所示，若薄膜的厚度为e，且n1＜n2＞n3，λ1为入射光在n1中波长，则两束反射光的光程差为 ( ) (A) 2n2e (B) 2n2e-λ1/(2n1) C珠的直径d2与d0的关系分别为： 37 (C) 2n2e- 11n1λ1 (D) 2n2e-n2λ122 11-6. 若把牛顿环装置(都是用折射率为1.52的玻璃制成的)由空气搬入折射率为1.33的水中，则干涉条纹 ( ) (A)中心暗斑变成亮斑 (B)变疏 (C)变密 (D)间距不变 二、填空题： 11-7. 在垂直照射的劈尖干涉实验中，当劈尖的夹角变大时，干涉条纹将向 方向移动，相邻条纹间的距离将变 。 11-8. 用波长为λ的单色光垂直照射到空气劈尖上，从反射光中观察干涉条纹，距顶点为 l 处是暗条纹，使劈尖角θ连续变大，直到该点处再次出现暗条纹为止。劈尖角的改变量△θ是 。 11-9. 用波长为λ的单色光垂直照射如图所示的牛顿环装置，观察从空气膜上下表面反射的光形成的牛顿环，若使平凸透镜慢慢地垂直向上移动，从透镜顶点与平面玻璃接触到两者距离为d的移动过程中，移过视场中某固定观察点的条纹数目等于 。 11-10. 在牛顿环装置的平凸透镜和平板玻璃间充以某种透明液体，观测到第十个明环的直径由充液前的14.3cm变成充液后的12.7cm。这种液体的折射率n= 。 11-11. 用λ=6000?的单色光垂直照射牛顿环装置时，第4级暗纹对应的空气膜厚度为 μm。 11-12. 已知在迈克尔逊干涉仪中使用波长为λ的单色光。在干涉仪的可动反射镜移动一距离d的过程中，干涉条纹将移动 条。 三、计算题： 11-13. 两块平板玻璃构成一空气劈尖长L=4cm，一端夹住一金属丝，如图所示，现以波长为λ=5890?的钠光垂直入射。 (1) 若观察到相邻明纹(或暗纹)间距离l=0.1mm,求金属丝的直 径d=? (2)将金属丝通电，受热膨胀，直径增大，在此过程中，从玻璃 38 片上方离劈棱距离为L/2的固定观察点上发现干涉条纹向左移动2条，问金属丝的直径膨胀了多少? 11-14. 折射率为1.60的两块标准平面玻璃板之间形成一个劈尖(劈尖角θ很小)用波长λ=600nm的单色光垂直入射，产生等厚干涉条纹。假如在劈尖内充满n=1.40的液体时的相邻明纹间距比劈尖内是空气时的间距缩小ΔL=0.5mm，那么劈尖角θ应是多少? 11-15. 用波长λ=500nm(1nm=10-9m)的单色光垂直照射在由两块光学平玻璃构成的空气劈尖上，在观察反射光的干涉现象中，距劈尖棱边l=1.56cm的A处是从棱边算起的第四条暗条纹中心. (1) 求此空气劈尖的劈尖角θ； (2) 改用600nm的单色光垂直照射到此劈尖上仍观察反射光的干涉条纹，A处是明条纹还是暗条纹? (3) 在第(2)问的情形从棱边到A处的范围内共有几条明纹? 几条暗纹? 11-16. 透镜表面通常复盖着一层 MgF2(n=1.38)的透明薄膜，为的是利用干涉来降低玻璃表面的反射。为使氦氖激光器发出的波长为6328?的激光毫不反射地透过，试求此薄膜必须有多厚?最薄厚度为多少?(设光线垂直入射)。 39 第十二单元 惠更斯一菲涅耳原理、单缝衍射 ［典型例题］ 例12-1.波长为λ的单色光垂直入射在缝宽a =4λ的单缝上，对应于衍射角φ=30°，单缝处的波面划分为 4 个半波带。 例12-2.在单缝夫琅和费衍射实验中，设第一级暗纹的衍射角很小，若钠黄光(λ1≈ 5890?)中央明纹宽度为4.0mm，则λ2=4420?的蓝紫光的中央明纹宽度为 3mm 。 例12-3．若有一波长为λ=6000?的单色平行光，垂直入射到缝宽a=0.6mm的单缝上，缝后放置一焦距f=40cm的透镜。试求：(1)屏上中央明纹的宽度；(2)若在屏上P点观察到一明纹，op=1.4mm，问P点处是第几级明纹，对P点而言狭缝处波面可分成几个半波带? 练习十二 一、选择题： 12-1. 在夫琅和费单缝衍射实验中，对于给定的入射单色光，当缝宽度变小时，除中央亮纹的中心位置不变外，各级衍射条纹。 (A)对应衍射角变小； （B）对应的衍射角变大； (C)对应衍射角也不变； （D）光强也不变； ( ) 12-2．在如图所示的单缝夫琅和费衍实验装置中，S为单缝，L为透镜，C为放在L的焦平面处的屏幕。当把单缝S垂直于透镜光轴稍微向上平移时，屏幕上的衍射图样。 ( ) (A) 向上平移； (B) 向下平移； (C) 不动； (D)条纹间距变大。 12-3．波长λ=5000?的单色光垂直照射到宽度a=0.25mm的单缝上，单缝后面放置一凸透镜，在凸透镜的焦平面上放置一屏幕，用以观测衍射条纹，今测得屏幕上中央明条纹一侧第三个暗条纹和另一侧第三个暗条纹之间的距离为d=12mm，则凸透镜的焦距f为： (A) 2m (B) 1m (C) 0.5m (D) 0.2m； (E) 0.1m ( ) 12-4．波长为λ的单色平行光垂直入射到一狭缝上，若第一级暗纹的位置对应的衍射角为θ=±?/6，则缝宽的大小为 40 (A) λ/2 (B) λ (C) 2λ (D) 3λ ( ) 12-5. 根据惠更斯—菲涅耳原理，若已知光在某时刻的波阵面为S，则S的前方某点P的光强度决定于波阵面S上所有面积元发出的子波各自传到P点的 ( ) (A) 振动振幅之和. (B)光强之和. (C) 振动振幅之和的平方. (D) 振动的相干叠加. 12-6. 在单缝夫琅和费衍射实验中，若减小缝宽，其他条件不变，则中央明条纹 (A) 宽度不变，但中心强度变小。 (B) 宽度变大。 (C) 宽度不变，且中心强度也不变； (D) 宽度变小 ( ) 二、填空题： 12-7．波长为λ=4800?的平行光垂直照射到宽度为a=0.40mm的单缝上，单缝后透镜的焦距为f=60cm，当单缝两边缘点A、B射向P点的两条光线在P点的相位差为π时，P点离透镜焦点O的距离等于 。 12-8．平行单色光垂直入射在缝宽为a=0.15mm的单缝上。缝后有焦距为f=400mm的凸透镜，在其焦平面上放置观察屏幕。现测得屏幕上中央明条纹两侧的两个第三级暗纹之间的距离为8mm，则入射光的波长为λ= 。 12-9. 在单缝夫琅和费衍射实验中，屏上第三级暗纹对应的单缝处波面可划分为_____________个半波带，若将缝宽缩小一半，原来第三级暗纹处将是____________纹。 三、计算题： 12-10．在某个单缝衍射实验中，光源发出的光含有两种波长λ1和λ2，并垂直入射于单缝上，假如λ1的第一级衍射极小与λ2的第二级衍射极小相重合，试问： (1) 这两种波长之间有何关系? (2) 在这两种波长的光所形成的衍射图样中，是否还有其他极小相重合? 12-11. 一双缝，缝距d=0.40mm，两缝宽度都是a=0.080mm，用波长为λ=4800?的平行光垂直照射双缝，在双缝后放一焦距f=2.0m的透镜求： (1) 在透镜焦平面处的屏上，双缝干涉条纹的间距△X。 (2) 在单缝衍射中央亮纹范围内的双缝干涉亮纹数目N和相应的级数。 41 第十三单元 光栅衍射 ［典型例题］ 例13-1．一衍射光栅，每厘米有200条透光缝，每条透光缝宽为a=2×10-3cm，在光栅后放一焦距f=1m的凸透镜，现以λ=6000?的单色平行光垂直照射光栅。求： (1) 透光缝a的单缝衍射中央明条纹宽度为多少? (2) 在该宽度内，有几个光栅衍射主极大? 解：(1)中央明纹线宽度 Δx0=2λf/a=60mm (2) ∵ a +b =2.5 a ∴ 内有0，±1,±2共5个光栅衍射主极大。 例13-2．用每毫米有300条刻痕的衍射光栅来检验仅含有属于红和蓝的两种单色成分的光谱。已知红谱线波长λ1在(0.63～0.76)μm范围内，蓝谱线波长λ2在(0.43～0.49)μm范围内。当光垂直入射到光栅时，发现在24.46°角度处，红蓝两谱线同时出现。 (1) 在什么角度下红蓝两谱线还会同时出现? (2) 在什么角度下只有红谱线出现? 解：a+b= 1mm=3.33μm 300(1) 1.38μm=(a+b)sin24.46°= kAλA= kBλB k A=2, λA=0.69μm k B=3, λB=0.46μm重合 如果还有重合的话，则要求 红， kA=4，6，8，… 兰， kB=6，9，12，… 红光最大级次满足：(a+b)sin90°＞kAmax′λA ∴ kAmax＜重合处，sinφ′= 4?A=0.828， ∴ φ′=55.9° a?b(2) 红光可见1、2、3、4级，且2、4级与兰光重合 ∴ 红光的1、3级单独出现，相应衍射φ1、φ3满足 sinφ1= ?Aa?b=0.207 φ1=11.9° sinφ3= 3?A=0.621 φ3=38.4° a?b例13-3．以氦放电管发出的光垂直照射到某光栅上，测得波长λ1=0.668μm的谱线的 42 衍射角为φ=20°。如果在同样φ角处出现波长λ2=0.447μm的更高级次的谱线，那么光栅常数最小是多少? 例13-4．设光栅平面和透镜都与屏幕平行，在平面透射光栅上每厘米有5000条刻线，用它来观察钠黄光(λ=589nm)的光谱线。 (1)当光线垂直入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级数km是多少? (2)当光线以30°的入射角(入射线与光栅平面的法线的夹角)斜入射到光栅上时，能看到的光谱线的最高级数km′是多少?(1nm=10-9m)。 解：(1) 由于栅垂直入射的明纹公式：(a+b)sinφ=kλ 光栅常数a+b=10-2/5000m 当sinφ=1时，k有最大值：km=(a+b)/λ 代入数值计算得：km=3 (2) 由光栅斜入射的公式： (a+b)(sinφ+sinθ)=kλ 当φ=π/2,θ=30°时 km′= (a?b)(1?1/2)?=5 例13-5.波长为5000?的单色光，以30°入射角照射在光栅上，发现原在垂直入射时的中央明条纹的位置现在改变为第二级光谱的位置，求此光栅每1cm上共有多少条缝?最多能看到几级光谱?共可看到几条谱线? 解：斜入射时 (a+b)(sinθ+sinφ)=kλ， 原中央明纹时，φ=0，现第二级光谱k=2,且θ=30° k?2?5000?10?10a?b???2?10?6 sin??sin?sin30??sin0?N=1×10-2/(a+b)=5000条/cm φ=π/2时， Kmax=(a+b)(sin30°+sin90°)/λ=6 Kmin=(a+b)(sin30°-sin90°)/λ=-2 理想可有k=-2,-1,0,+1,+2,+3,+4,+5,+6共九条明线。 实际上，-2级、+6级对应衍射角±π/2不能看到。 例13-6．在迎面驶来的汽车上，两盏前灯相距120cm，试问在车离人多远的地方，眼睛恰可分辨这两盏灯?设夜间人眼瞳孔直径为5.0mm,入射光波长λ=5500?，(仅考虑人眼圆形瞳孔的衍射效应)。 43 练习十三 一、选择题： 13-1． 一衍射光栅对某一定波长的垂直入射光在屏幕上只能出现零级和一级主极大，欲使屏幕上出现更高级次的主极大，应该： ( ) (A) 换一个光栅常数较小的光栅； (B) 换一个光栅常数较大的光栅； (C) 将光栅向靠近屏幕的方向移动； (D) 将光栅向远离屏幕的方向移动； 13-2．测量单色光的波长时，下列方法中哪一种方法最为准确? ( ) (A) 双缝干涉 (B) 牛顿环 (C) 单缝衍射 (D) 光栅衍射 13-3. 若用衍射光栅准确测定一单色可见光的波长，在下列各种光栅常数的光栅中选用哪一种最好? ( ) (A) 1.0×10-1mm (B) 5.0×10-1mm (C) 1.0×10-2mm (D) 1.0×10-3mm 二、填空题： 13-4．一束单色光垂直入射在光栅上，衍射光谱中共出现5条明纹。若已知此光栅缝宽度与不透明部分宽度相等，那么在中央明纹一侧的两条明纹分别是第 级和第 级谱线。 13-5．若波长为6250?的单色光垂直入射到一个每毫米有800条刻线的光栅上时，则第一级谱线的衍射角为 。 13-6．衍射光栅主极大公式(a+b)sinΦ=±kλ,k=0，1，2…在k=2的方向上第一条缝与第六条缝对应点发出的两条衍射光的光程差δ= 。 13-7．可见光的波长范围是400nm—760nm。用平行的白光垂直入射在平面透射光栅上时，它产生的不与另一级光谱重叠的完整的可见光光谱是第 级光谱。 4 13-8．用波长为λ的单色平行红光垂直照射在光栅常数d=2.00×10?的光栅上，用焦距f=0.500m的透镜将光聚在屏上，测得夫琅和费衍射花样的第一级谱线与透镜主焦点的距离 l =0.1667m。则可知该入射的红光波长λ= 。 13-9．望远镜的口径至少为 m，方能分辨天空中对其角距离为4.84×10-6rad；发射波长为5.50×10-5cm光的两颗星。 三、计算题： 44 13-10．(1)在单缝夫琅和费衍射实验中，垂直入射光有两种波长，λ1=4000?，λ2=7600?，已知单缝宽度a=1.0×10-2cm，透镜焦距f=50cm，求两种光第一级衍射明纹中心之间的距离； (2)若用光栅常数d=1.0×10-3cm的光栅替换单缝，其他条件和上一问相同，求两种光第一级主极大之间的距离。 13-11．一束具有两种波长λ1和λ2的平行光垂直照射到一衍射光栅上，测得波长λ1 的第三极主极大衍射角和λ2的第四级主极大衍射角均为30°。已知λ1=5600?，试问： (1)光栅常数(a+b)=? (2)λ2=? 13-12．以氢放电管发出的光垂直照射在某光栅上，在衍射角Φ=41°的方向上看到λ1 =6562?和λ2=4101?的谱线相重合，求光栅常数最小是多少? 13-13. 波长范围在450～650nm之间的复色平行光垂直照射在每厘米有5000条刻线的光栅上，屏幕放在透镜的焦面处，屏上第二级光谱各色光在屏上所占范围的宽度为35.1cm。求透镜的焦距f。(1nm=10-9m)。 13-14. 以波长1.10?的x射线照射岩盐晶面，实验测得在x射线与晶面的夹角(掠射角)为11?30?时获得第一级极大反射光，问： (1) 岩盐晶体原子平面之间的间距d为多大? (2) 如以另一束待测的x射线照射岩盐晶面，测得x射线与晶面的夹角为17?30?时获得第一级极大反射光，则待测x射线的波长是多少? 45 第十四单元 光的偏振 ［典型例题］ 例14-1． 两偏振片堆叠在一起，一束自然光垂直入射其上时没有光线通过。当其中一偏振片慢慢转动180°时透射光强度发生的变化为： ( ) (A)光强单调增加； (B)光强先增加，后又减小至零； (C)光强先增加，后减小，再增加； (D)光强先增加，然后减小，再增加，再减小至零。 例14-2．一束平行的自然光，以60°角入射到平玻璃表面上，若反射光束是完全偏振的，则透射光束的折射角是_____________；玻璃的折射率为____________。 练习十四 一、选择题： 14-1. 三个偏振片P1、P2与P3堆叠在一起，P1与P3和偏振化方向相互垂直，P2与P1 的偏振化方向间的夹角为30°。强度为I0的自然光垂直入射到偏持片P1，并依次透过偏振片P1、P2与P3，若不考虑偏振片的吸收和反射，则通过三个偏振片后的光强为：( ) (A) I0/4； (B)3I0/8； (C) 3I0/32； (D)I0/16 14-2. 一束自然光和线偏振光的混合光，让它垂直通过一偏振片，若以此入射光束为轴旋转偏振片，测得透射光强度最大值是最小值的5倍，那么入射光束中自然光与线偏振光的光强比值为： ( ) (A)1/2； (B)1/5 ； (C)1/3； (D)2/3； 14-3. 一束光强为I0的自然光垂直穿过两个偏振片，且此两偏振片的偏振化方向成45°角，若不考虑偏振片的反射和吸收，则穿过两个偏振片后的光强I为： ( ) (A)2I0/4 (B) I0/4 (C) I0/2 (D) 2I0/2 14-4. 自然光以60°的入射角照射到某一透明介质表面时，反射光为线偏振光，则知： (A) 折射光为线偏振光，折射角为30°； (B) 折射光为部分偏振光，折射角为30°； (C) 折射光为线偏振光，折射角不能确定； (D) 折射光为部分偏振光，折射角不能确定； ( ) 14-5. 自然光以布儒斯特角由空气入射到一玻璃表面上，反射光是 (A) 在入射面内振动的完全偏振光。 46 (B) 平行于入射面的振动占优势的部分偏振光。 (C) 垂直于入射面振动的完全偏振光。 (D) 垂直于入射面的振动占优势的部分偏振光。 ( ) 14-6. 在双缝干涉实验中，用单色自然光，在屏上形成干涉条纹若在两缝后放一个偏振片，则 (A) 干涉条纹的间距不变，但明纹的亮度加强。 (B) 干涉条纹的间距不变，但明纹的亮度减弱。 (C) 干涉条纹的间距变窄，但明纹的亮度减弱。 (D) 无干涉条纹。 ( ) 二、填空题 14-7. 自然光在两种各向同性媒质的分界面上反射时，若入射角为布儒特角i0时，则反射光为__________偏振光，振动面与入射面_________，折射光为___________偏振光。 14-8. 一束自然光以布儒斯特角入射到平板玻璃片上，就偏振状态来说则反射光为____________，反射光E矢量的振动方向___________, 透射光为__________。 14-9. 某一块火石玻璃的折射率是1.65，现将这块玻璃浸没在水中(n=1.33)，欲使从这块玻璃表面反射到水中的光是完全偏振的，则光由水射向玻璃的入射角应为______________。 14-10. 一束自然光从空气投射到玻璃表面上(空气折射率为1)，当折射角为30°时，反射光是完全偏振光则此玻璃板的折射率等于_____________。 14-11. 两个偏振片堆叠在一起，其偏振化方向相互垂直。若一束强度为I0的的线偏振光入射，其光矢量振动方向与第一偏振片偏振化方向夹角为π/4，则穿过第一偏振片后的光强为_________________，穿过两个偏振片后的光强为__________________. 14-12. 当光线沿光轴方向入射到双折射晶体上时，不发生___________现象，沿光轴方向寻常光和非常光折射率___________；传播速度_________________。 三、计算题： 14-13. 两个偏振片叠在一起，在它们的偏振方向成α1=30°时，观测一束单色自然光，又在α2=45°时，观测另一束单色自然光。若两次所测得的透射光强度相等，求两次入射自然光的强度之比。 47 第十五单元 光学小结 练习十五 一、选择题 ①②15-1．如图所示，折射率为n2、厚度为e的透明介质薄膜的上方和下方的透明介质的折射率分别为n1和n3，已知n1＜n2＜n3．若n1用波长为?的单色平行光垂直入射到该薄膜上，则从薄膜上、下两表面反射的光束①与②的光程差是 en2 (A) 2n2 e． (B) 2n2 e－? / 2 . n3(C) 2n2 e－?． (D) 2n2 e－? / (2n2)． ［ ］ 15-2．如图所示，波长为?的平行单色光垂直入射在折射率为 n1 ??n2的薄膜上，经上下两个表面反射的两束光发生干涉．若薄膜厚度为e，而且n1＞n2＞n3，则两束反射光在相遇点的相位差为 e n2 (A) 4?n2 e / ?． (B) 2?n2 e / ?． n3 (C) (4?n2 e / ?????． (D) (2?n2 e / ?????． ［ ］ 15-3．如图，用单色光垂直照射在观察牛顿环的装置上．当平凸 单色光透镜垂直向上缓慢平移而远离平面玻璃时，可以观察到这些环状干涉 空气条纹 (A) 向右平移． (B) 向中心收缩． (C) 向外扩张． (D) 静止不动． (E) 向左平移． ［ ］ ?? 15-4．如图所示，平板玻璃和凸透镜构成牛顿环装置，全部浸入n O ＝1.60的液体中，凸透镜可沿OO?移动，用波长?＝500 nm(1nm=10?9m) n=1.68 的单色光垂直入射．从上向下观察，看到中心是一个暗斑，此时凸透 镜顶点距平板玻璃的距离最少是 n=1.60 n=1.58 (A) 156.3 nm (B) 148.8 nm (C) 78.1 nm O? (D) 74.4 nm (E) 0 ［ ］ 15-5．在迈克耳孙干涉仪的一条光路中，放入一折射率为n，厚度为d的透明薄片，放入后，这条光路的光程改变了 (A) 2 ( n-1 ) d． (B) 2nd． (C) 2 ( n-1 d+? / 2． (D) nd． (E) ( n-1) d． ［ ］ 15-6．在如图所示的夫琅禾费衍射装置中，将单缝宽度a稍稍变窄，同时使会聚透镜L沿y轴正方向作微小平移(单缝与屏幕位置不动)，则屏幕C上的中央衍射条纹将 。 48 （A）变宽，同时向上移动．（B）变宽，同时向下移动． （C）变宽，不移动． （D）变窄，同时向上移动． (E) 变窄，不移动． ［ ］ 15-7． 某元素的特征光谱中含有波长分别为?1＝450 nm和?2 - ? a L C yO x f ＝750 nm (1 nm＝109 m)的光谱线．在光栅光谱中，这两种波长的谱线有重叠现象，重叠处?2的谱线的级数将是 (A) 2 ，3 ，4 ，5 ．．．．．． (B) 2 ，5 ，8 ，11．．．．．． (C) 2 ，4 ，6 ，8 ．．．．．． (D) 3 ，6 ，9 ，12．．．．．． ［ ］ 15-8．在双缝衍射实验中，若保持双缝S1和S2的中心之间的距离d不变，而把两条缝的宽度a略微加宽，则 (A) 单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目变少． (B) 单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目变多． (C) 单缝衍射的中央主极大变宽，其中所包含的干涉条纹数目不变． (D) 单缝衍射的中央主极大变窄，其中所包含的干涉条纹数目变少． (E) 单缝衍射的中央主极大变窄，其中所包含的干涉条纹数目变多． ［ ］ 15-9．一束平行单色光垂直入射在光栅上，当光栅常数(a + b)为下列哪种情况时(a代表每条缝的宽度)，k=3、6、9 等级次的主极大均不出现？ (A) a＋b=2 a． (B) a＋b=3 a． (C) a＋b=4 a． (A) a＋b=6 a． ［ ］ 15-10．ABCD为一块方解石的一个截面，AB为垂直于纸面的晶体平面与纸面的交线．光轴方向在纸面内且与AB成一锐角?，如图所示．一束平行的单 D色自然光垂直于AB端面入射．在方解石内折射光分解为o光和e光， Ao光和e光的 ［ ］ 光? (A) 传播方向相同，电场强度的振动方向互相垂直． 轴 (B) 传播方向相同，电场强度的振动方向不互相垂直． (C) 传播方向不同，电场强度的振动方向互相垂直． C(D) 传播方向不同，电场强度的振动方向不互相垂直． B 二、填空题（共32分） 15-11．在双缝干涉实验中，若使两缝之间的距离增大，则屏幕上干涉条纹间距_________；若使单色光波长减小，则干涉条纹间距_________________． 15-12．在双缝干涉实验中，所用光波波长?＝5.461×10–4 mm，双缝与屏间的距离D 49 ＝300 mm，双缝间距为d＝0.134 mm，则中央明条纹两侧的两个第三级明条纹之间的距离为_______________． -15-13．在空气中有一劈形透明膜，其劈尖角?＝1.0×104rad，在波长?＝700 nm的单色光垂直照射下，测得两相邻干涉明条纹间距l＝0.25 cm，由此可知此透明材料的折射率 -n＝______________________．(1 nm=109 m) 15-14．平行单色光垂直入射于单缝上，观察夫琅禾费衍射．若屏上P点处为第二级暗纹，则单缝处波面相应地可划分为___________ 个半波带．若将单缝宽度缩小一半，P点处将是______级_______纹． 15-15．两个偏振片叠放在一起，强度为I0的自然光垂直入射其上，若通过两个偏振片后的光强为I0/8，则此两偏振片的偏振化方向间的夹角(取锐角)是____________，若在两片之间再插入一片偏振片，其偏振化方向与前后两片的偏振化方向的夹角（取锐角）相等．则通过三个偏振片后的透射光强度为____________． 15-16．马吕斯定律的数学表达式为I = I0 cos2?．式中I为通过检偏器的透射光的强度；I0为入射__________的强度；?为入射光__________方向和检偏器_________方向之间的夹角． i015-17．附图表示一束自然光入射到两种媒质交界平面上产生反射 n1光和折射光．按图中所示的各光的偏振状态，反射光是__________光；n2折射光是________光；这时的入射角i0称为____________角． 15-18．自然光以入射角57°由空气投射于一块平板玻璃面上，反 射光为完全线偏振光，则折射角为____________． A 光轴方向15-19．用方解石晶体(no＞ne)切成一个顶角A＝30°的三棱镜，其光轴方向如图，若单色自然光垂直AB面入射(见图)．试定性地画出三棱镜内外折射光的光路，并画出光矢量的振动方向． BC 三、计算题 -15-20．用波长为?＝600 nm (1 nm＝109 m)的光垂直照射由两块平玻璃板构成的空气 -劈形膜，劈尖角?＝2×104 rad．改变劈尖角，相邻两明条纹间距缩小了?l＝1.0 mm，求劈尖角的改变量??． 50