七年级上册应用题专题讲解

列方程解应用题，是初中数学的重要内容之一。许多实际问题都归结为解一种方程或

方程组，所以列出方程或方程组解应用题是数学联系实际，解决实际问题的一个重要方面； 同时通过列方程解应用题，可以培养我们分析问题，解决问题的能力。因此我们要努力学 好这部分知识。

一、列方程解应用题的一般步骤（解题思路）

（1）审—审题： 认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系（找出等量 关系）．

（2）设—设出未知数： 根据提问，巧设未知数．

（3）列—列出方程： 设出未知数后，表示出有关的含字母的式子，然后利用已找出的 等量关系列出方程．

（4）解—解方程： 解所列的方程，求出未知数的值．

（5）答—检验，写答案： 检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际， 检验后写出答案． （注意带上单位）

二、各类题型解法分析

一元一次方程应用题归类汇集： 行程问题，工程问题，和差倍分问题 （生产、做工等 各类问题），等积变形问题，调配问题，分配问题，配套问题，增长率问题，数字问题， 方

案设计与成本分析 ，古典数学，浓度问题等 。

（一）和、差、倍、分问题——读题分析法

这类问题主要应搞清各量之间的关系，注意关键词语。仔细读题，找出表示相等关系 的关键字，例如： “大，小，多，少，是，共，合，为，完成，增加，减少，配套 数式，得到方程 来体现。

,, ” ，

利用这些关键字列出文字等式，并且据题意设出未知数，最后利用题目中的量与量的关系 填入代

.

1.倍数关系：通过关键词语“是几倍，增加几倍，增加到几倍，增加百分之几，增长率 ,, ” 2.多少关系：通过关键词语“多、少、和、差、不足、剩余

,, ”来体现。

增长量＝原有量×增长率

现在量＝原有量＋增长量

例 1．某单位今年为灾区捐款 2 万 5 千元，比去年的 2 倍还多 1000 元，去年该单位为灾区 捐款多少元？

解： 设去年该单位为灾区捐款 x 元，则

2x+1000=25000

2x=24000 x=12000

答：去年该单位为灾区捐款 12000 元.

例 2．旅行社的一辆汽车在第一次旅程中用去油箱里汽油的 油的 40%，这样油箱中剩的汽油比两次所用的汽油少

25%，第二次旅程中用去剩余汽

1 公斤，求油箱里原有汽油多少公斤？

解： 设油箱里原有汽油 x 公斤 ,则

x-[25%x+40% ×(1-25%)x]+1=25%x+40% ×(1-25%)x

即 10%x=1 x=10

答：油箱里原有汽油 10 公斤 .

（二）等积变形问题

等积变形是以形状改变而体积不变为前提。

常用等量关系为：原料体积 =成品体积。常见几何图形的面积、体积、周长计算公式， 依据形虽变，但体积不变．

①圆柱体的体积公式 ②长方体的体积

V= 底面积×高＝ S·h＝ r h V＝长×宽×高＝ abc

2

例 3．现有直径为 0.8 米的圆柱形钢坯 30 米，可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形

机轴多少根？

解：设可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形机轴 x 根, 则

( 0.8 2) ×30 3.14× ( 0. 4 2) ×3x=3.14 ×

2 2

0.12x=4.8

x=40

答：可足够锻造直径为 0.4 米，长为 3 米的圆柱形机轴 40 根。

（三）数字问题

1.要搞清楚数的表示方法：一个三位数，一般可设百位数字为 为： 100a+10b+c．

a，十位数字是 b，个位

数字为 c（其中 a、b、c 均为整数，且 1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9），则这个三位数表示

2.数字问题中一些表示：两个连续整数之间的关系，较大的比较小的大 表示，连续的偶数用 2n+2 或 2n-2 表示；奇数用 2n+1 或 2n—1 表示。

1；偶数用 2n

例 4．有一个三位数，个位数字为百位数字的 2 倍，十位数字比百位数字大 1，若将此数个

2 倍少 49，求原数。

位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的

解：设原数百位数为 x,则十位数为 10(x+1) ，个位数为 2x ，于是

100× 2x +10×(x+1)+x+49=2 ×[100x+10(x+1)+2x]

即

211x+59=224x+20

13x=39 x=3

故原数为： 100×2+10×4+2×3=246 答：原数为 246.

例 5．一个三位数，三个数位上的数字之和是

位上的数的 3 倍，求这个三位数 .

17，百位上的数比十位上的数大 7，个位上的数 是十

[分析 ]由已知条件给出了百位和个位上的数的关系，若设十位上的数为 位上的数是 3x，等量关系为三个数位上的数字和为 17。

x，则百位上的数为 x+7，个

解： 设这个三位数十位上的数为

x，则百位上的数为 x+7，个位上的数是 3x ，则

解得

x+x+7+3x=17

x=2 x+7=9 ， 3x=6

答：这个三位数是 926。

（四）商品利润问题（市场经济问题或利润赢亏问题）

（1）销售问题中常出现的量有：进价 ( 或成本 )、售价、标价（或定价） 、利润等。

（2）利润问题常用等量关系：

商品利润＝商品售价－商品进价＝商品标价×折扣率－商品进价

商品利润率

商品利润 商品进价

100 %

商品售价 - 商品进价

商品进价

100 %

（3）商品销售额＝商品销售价×商品销售量

商品的销售利润＝（销售价－成本价）× 销售量

8 折出售，即按原

（4）商品打几折出售，就是按原标价的百分之几十出售，如商品打 标价的 80%出售．即 商品售价 = 商品标价×折扣率 ．

例 6：一家商店将某种服装按进价提高

40%后标价，又以 8 折优惠卖出，结果每件仍获

利

15 元，这种服装每件的进价是多少？

进价

折扣率 8 折

[分析 ]探究题目中隐含的条件是关键，可直接设出成本为

x 元 ,

优惠价 80%（ 1+40% ）X =15

利润 15 元

标价 （ 1+40% ） X 元

x 元

等量关系：（利润 =折扣后价格—进价）折扣后价格－进价

解： 设 这种服装每件的 进价为 x 元，则

80%x （ 1+40% ）— x=15 ，

解得 x=125

答： 这种服装每件的 进价是 125 元。

例 6* ：某商品的进价为 800 元，出售时标价为 1200 元，后来由于该商品积压，商店准备打折出售，

但要保持利润率不低于 5%，则至多打几折？

解： 设至多打 x 折，则根据题意有

1200 x 800 × 100%=5%

800

解得

x=0.7=70%

答：至多打 7 折出售．

（五）行程问题——画图分析法

利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现，仔细读题，依照题意画出有 关图形，使图形各部分具有特定的含义，通过图形找相等关系是解决问题的关键，从而取

得布列方程的依据，最后利用量与量之间的关系（可把未知数看做已知量）

，填入有关的代

数式是获得方程的基础 .

1.行程问题中的三个基本量及其关系：

路程＝速度×时间

时间＝路程÷速度 速度＝路程÷时间

2.行程问题基本类型

（1）相遇问题：

快行距＋慢行距＝原距 快行距－慢行距＝原距

逆水（风）速度＝静水（风）速度－水流（风）速度 水流速度 =( 顺水速度 -逆水速度）÷2

（2）追及问题：

（3）航行问题： 顺水（风）速度＝静水（风）速度＋水流（风）速度

（4）环路问题 甲乙同时同地背向而行：甲路程—乙路程 =环路一周的距离 甲乙同

时同地同向而行： 快者的路程—慢者的路程

逆水问题常用等量关系： 顺水路程 =逆水路程．

常见的还有：相背而行；行船问题；环形跑道问题。

=环路一周的距离

抓住两码头间距离不变，水流速和船速（静不速）不变的特点考虑相等关系．即顺水

例 7：甲、乙两站相距 480 公里，一列慢车从甲站开出，每小时行 站开出，每小时行 140 公里。

90 公里，一列快车从乙

（1）慢车先开出 1 小时， 快车再开。 两车相向而行。 问快车开出多少小时后两车相遇 ? （2）两车同时开出，相背而行多少小时后两车相距

600 公里？

（3）两车同时开出， 慢车在快车后面同向而行， 多少小时后快车与慢车相距 600 公里？ （4）两车同时开出同向而行，快车在慢车的后面，多少小时后快车追上慢车？ （5）慢车开出 1 小时后两车同向而行，快车在慢车后面，快车开出后多少小时追上慢 车？ ( 此题关键是要理解清楚相向、相背、同向等的含义，弄清行驶过程。

解析：（ 1）分析 ：相遇问题，画图表示为： 等量关系是：慢车走的路程

)

乙

+快车走的路程 =480 公里。

甲

解： 设快车开出 x 小时后两车相遇，由题意得， 140x+90(x+1)=480 解这个方程， 230x=390

16 x 1 ,

23

答：快车开出 16 小时两车相遇

1 23 （ 2）分析 ：相背而行，画图表示为： 等量关系是：两车所走的路程和

+480 公里 =600 公里。

甲

600

乙

解： 设 x 小时后两车相距 600 公里，

由题意得， (140+90)x+480=600 解这个方程， 230x=120 ∴ x=

12

23

答：

12 23

小时后两车相距 600 公里。

+480 公里 =600 公里。

50x=120

∴ x=2.4

（ 3）分析： 等量关系为：快车所走路程－慢车所走路程

解： 设 x 小时后两车相距 600 公里， 由题意得， (140－ 90)x+480=600