第四章 高阶微分方程

[教学目标]

1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。 2.

掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分

方程特解的待定系数法和Laplce变换法。

3. 熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。 4. 掌握高阶方程的应用。

[教学重难点] 重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。难点是待定系数法求特解。 [教学方法] 讲授，实践。 [教学时间] 16学时

[教学内容] 线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。 [考核目标]

1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。 2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。

3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。 4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。

§4.1线性微分方程的一般理论

4.1.1引言

讨论n阶线性微分方程

dnxdn?1xdx?a(t)???a(t)?an(t)x?f(t) （4.1） 1n?1nn?1dtdtdt其中ai(t)(i?1,2,?,n)及f(t)都是区间a?t?b上的连续函数 如果f(t)?0，则方程（4.1）变为：

dnxdn?1xdx?an(t)x?0 （4.2） n?a1(t)n?1???an?1(t)dtdtdt称它为n阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。

定理1 如果ai(t)(i?1,2,?,n)及f(t)都是区间a?t?b上的连续函数，则对于任一

(1)(n?1) ，方程（4.1）存在唯一解x??(t)，定义于区间t0??a,b? x0,x0,?,x0a?t?b上，且满足初始条件：

d?(t0)dn?1?(t0)(1)(n?1)?x0,?,?x0 ?(t0)?x0, （4.3） n?1dtdt从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有ai(t)(i?1,2,?,n)及f(t)连续的整个区间a?t?b上有定义。 4.1.2 齐线性方程的解的性质与结构 讨论齐线性方程

dnxdn?1xdx?an(t)x?0 （4.2） n?a1(t)n?1???an?1(t)dtdtdt定理2（叠加原理）如果x1(t),x2(t),?,xk(t)是方程（4.2）的k个解，则它们的线性组合c1x1(t)?c2x2(t)???ckxk(t)也是（4.2）的解，这里c1,c2,?,ck是任意常数。

特别地，当k?n时，即方程（4.2）有解

x?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t) （4.4）

它含有n个任意常数。在什么条件下，表达式（4.4）能够成为n阶齐线性方程（4.2）的通解？为了讨论的需要，引进函数线性相关与线性无关及伏朗斯基(Wronsky)行列式等概念。

设x1(t),x2(t),?,xk(t)是定义在区间a?t?b上的函数，如果存在不全为零的常数

c1,c2,?,ck，使得恒等式

c1x1(t)?c2x2(t)???ckxk(t)?0

对于所有t??a,b?都成立，称这些函数是线性相关的，否则称这些函数在所给区间上线性无关,即当且仅当c1?c2???ck?0时,上述恒等式才成立, 称这些函数在所给区间上线性无关。

由此定义不难推出如下的两个结论：

1)在函数组y1,y2,?yn中如果有一个函数为零，则y1,y2,?yn在(a,b)上线性相关.

2)如果两个函数y1,y2之比比式

y1在(a,b)有定义，则它们在(a,b)上线性无关等价于y2y1在(a,b)上不恒等于常数. y2例1函数组y1?ex,y?e?x在任意区间上都是线性无关的.

y1ex解 比式=?x?e2x不恒等于常数在任意区间上成立：

y2e例2函数组y1?sin2x,y2?cos2x,y3?1在区间(??,??)上线性相关. 解 若取c1?1,c2?1,c3??1则1?sin2x?1?cos2x?(?1)1?0故已知函数组在

(??,??)上线性相关.

设函数x1(t),x2(t),?,xk(t)在区间a?t?b上均有k?1阶导数,行列式

x1(t) W?x1(t),x2(t),?,xk(t)??W(t)?x2(t)'x2(t)???xk(t)'xk(t)x1'(t)???

(k?1)(k?1)x1(k?1)(t)x2(t)?xk(t)称为这些函数的伏朗斯基行列式。

定理3 若函数x1(t),x2(t),?,xn(t)在区间a?t?b上线性相关，则在?a,b?上它们的伏朗斯基行列式W(t)?0。

证明：由假设，即知存在一组不全为零的常数c1,c2,?,cn，使得

c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t)?0, a?t?b （4.6） 依次对t微分此恒等式，得到

''?c1x1'(t)?c2x2(t)???cnxn(t)?0?''''''?c1x1(t)?c2x2(t)???cnxn(t)?0 ? （4.7）

????????????cx(n?1)(t)?cx(n?1)(t)???cx(n?1)(t)?022nn?11把（4.6）和（4.7）看成关于c1,c2,?,cn的齐次线性代数方程组，它的系数行列式就则它的系数行列式必须为零，即W(t)?0 (a?t?b)。

反之，其逆定理一般不成立。 例如函数

是W?x1(t),x2(t),?,xn(t)?，由线性代数的理论知道，要此方程组存在非零解，

?t2 ?1?t?0?0 ?1?t?0 x1(t)??和 x1(t)??2

0 0?t?1 t 0?t?1 ??在区间?1?t?1上，W[x1(t),x2(t)]?0，但在此区间上却是线性无关的。因为，假设存在恒等式

c1x1(t)?c2x2(t)?0 ?1?t?1 （4.8）

则当?1?t?0时，可知c1?0；当0?t?1时，可知c2?0.即当且仅当c1?c2?0时，(4.8)式对一切?1?t?1成立.故x1(t),x2(t)是线性无关的.

推论1 如果函数组x1(t),x2(t),?,xn(t)的朗斯基行列式W(t)在区间[a,b]上某一点x0处不等于零，即W(x0)?0，则该函数组在[a,b]上线性无关.

但是，如果x1(t),x2(t),?,xn(t)是齐线性方程（4.2）的解，那么就有下面的定理：

定理4 如果方程（4.2）的解x1(t),x2(t),?,xn(t)在区间a?t?b上线性无关，则W?x1(t),x2(t),?,xn(t)?在这个区间的任何点上都不等于零，即

W(t)?0 (a?t?b)。

证明：采用反证法。设有某个t0，a?t0?b，使得W(t0)?0。考虑关于

c1,c2,?,cn的齐次线性代数方程组

?c1x1(t0)?c2x2(t0)???cnxn(t0)?0?'''c1x1(t0)?c2x2(t0)???cnxn(t0)?0? ? （4.9） ????????????cx(n?1)(t)?cx(n?1)(t)???cx(n?1)(t)?00220nn0?11