2. 当z?___时，ez为实数.

3. 设ez??1，则z?___.

4.

ez的周期为___.

5. 设C:|z|?1，则?(z?1)dz?___.

Cz6.

Res(e?1z,0)?____.

7. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析，则称它是D内的_____________。 8. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为_________.

9.

sinz的孤立奇点为________.

z10. 设C是以为a心，r为半径的圆周，则

?1C(z?a)ndz?___.

（n为自然数） 三. 计算题. (40分)

z?11. 求复数

的实部与虚部.

z?12. 计算积分：

I??LRezdz， 在这里L表示连接原点到1?i的直线段. 2?3.

求积分：I??d?，其中0

01?2acos??a24. 应用儒歇定理求方程

z??(z)，在|z|<1

内根的个数，在这里

?(z)在|z|?1上解析，并且|?(z)|?1.

四. 证明题. (20分) 1. 证明函数

f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微.

2. 设f(z)是一整函数，并且假定存在着一个正整数

n，以及两个数R

及M，使得当|z|?R时

|f(z)|?M|z|n，

5

证明:f(z)是一个至多n次的多项式或一常数.

《复变函数》考试试题（六）

1.

一、填空题（20分） 1. 若z?21nn?n1?n?i(1?n)，则limzn?___________.

2. 设

f(z)?1z2?1，则f(z)的定

义

域

为

____________________________.

3. 函数sinz的周期为_______________________. 4.

sin2z?cos2z?_______________________.

??5. 幂级数?nzn的收敛半径为________________.

n?06. 若z0是f(z)的m阶零点且m?1，则z0是f?(z)的____________零点.

7. 若函数f(z)在整个复平面处处解析，则称它是______________.

8. 函数f(z)?z的不解析点之集为__________.

9. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为___________.

10. 公式eix?cosx?isinx称为_____________________. 二、计算题（30分）

n1、lim?2?i?????6?. n?22、设f(z)??3??7??1C??zd?，其中C??z:z?3?，试求f?(1?i).

3、设f(z)?ezz2?1，求Res(f(z),i).

34、求函数

sinzz6在0?z??内的罗朗展式.

5、求复数w?z?1z?1的实部与虚部.

?6、求e?3i的值.

三、证明题（20分）

1、 方程z7?9z6?6z3?1?0在单位圆内的根的个数为6.

2、 若函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域D内解析，v(x,y)等于常数，

则f(z)在D恒等于常数.

6

3、 若z0是f(z)的m阶零点，则z10是的.

f(z)m阶极点

６．计算下列积分．（８分） 2(1)

??sinz (2) z?2dz； 2(z??2)2??z?2z?4z?3)dz．

z(７．计算积分?2?d?05?3cos?．（６分）

８．求下列幂级数的收敛半径．（６分）

??(1)

?(1?i)nzn； (2)

?(n!)2n．

n?1n?1nnz９．设f(z)?my3?nx2y?i(x3?lxy2)为复平面上的解析函数，试确定l，m，n的值．（６分）

三、证明题．

１．设函数f(z)在区域D内解析，f(z)在区域D内也解析，证明f(z)必为常数．（５分）

２．试证明az?az?b?0的轨迹是一直线，其中a为复常数，b为实常数．（５分）

试卷一至十四参考答案

《复变函数》考试试题（一）参考答案

二．填空题

1. ?2?in?1? 2. 1； 3. 2k?，(k?z)； 4. z??i； 5. ?0n?1 ； 1

6. 整函数； 7. ?； 8. 1； 9. 0；(n?1)!10. ?.

三．计算题.

1. 解 因为0?z?1, 所以0?z?1

? f(z)?11?(z?1)(z?2)?11?z???zn?1zn2(1?zn?02?(). n?022)2. 解 因为

z??Resf(z)?2?limcosz?lim1z?2z??2z????1,

2?sinz7

z??Re2?sf(z)?limz???2z??cosz?lim1z????1. 22?sinz所以?1z?2coszdz?2?i(Resf(z)?Resf(z)?0.

z???2z??23. 解 令?(?)?3?2?7??1, 则它在z平面解析, 由柯西公式有在z?3内,

f(z)???(?)c??zdz?2?i?(z).

所以f?(1?i)?2?i??(z)z?1?i?2?i(13?6i)?2?(?6?13i).

4. 解 令z?a?bi, 则 w?z?122a(?1?z?1?1?z?1?1?bi)(a?12)?b2?1?2a(?1)(a?21)?b2?b2a(?21)?. b 故 Re(z?12(a?1)2bz?1)?1?(a?1)2?b2, Im(z?1z?1)?(a?1)2?b2.

四. 证明题.

1. 证明 设在D内f(z)?C.

令f(z)?u?iv,则f(z)2?u2?v2?c2.

两边分别对x,y求偏导数, 得 ?uux?vv(1)?x?0?uuy?vvy?0(2 )因为函数在D内解析, 所以ux?vy,uy??vx. 代入 (2) 则上述方程组变为

?uu?x?vvx?0. 消去ux得, (u2?v2)vx?0. ?vux?uvx?01)

若u2?v2?0, 则 f(z)?0 为常数.

2)

若vx?0, 由方程 (1) (2) 及 C.?R.方程有ux?0, uy?0,

vy?0.

所以u?c1,v?c2. (c1,c2为常数). 所以f(z)?c1?ic2为常数. 2. 证明f(z)?z(1?z)的支点为z?0,1. 于是割去线段0?Rez?1的

z平面内变点就不可能单绕0或1转一周, 故能分出两个单值解析分支.

由于当z从支割线上岸一点出发,连续变动到z?0,1 时, 只有z的幅角

8

2