自学考试复变函数试题库

《复变函数论》试题库梅一A111 《复变函数》考试试题(一)

1、

?dz|z?z0|?1(z?zn?__________.(n为自然数)

0)sin2z?cos22.z? _________.

3.函数sinz的周期为___________.

f(z)?14.设

z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.

?5.幂级数?nzn的收敛半径为__________.

n?06.若函数f(z)在整个平面上处处解析,则称它是__________.

limn??zz1?z2?...?znn??lim,则

n??n?7.______________.

Res(ezzn,0)?8.________,其中n为自然数.

9.

sinzz的孤立奇点为________ .

10.若z0是

f(z)limf(z)?___的极点,则z?z0.

三.计算题(40分):

f(z)?11. 设

(z?1)(z?2),求f(z)在

D?{z:0?|z|?1}内的罗朗展式.

12.

?|z|?1coszdz.

23. 设

f(z)??3??7??1dC??z?,其中C?{z:|z|?3},试求f'(1?i).

w?z?14. 求复数

z?1的实部与虚部.

四. 证明题.(20分)

1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明:如果|f(z)|在D内为常数,

那么它在D内为常数. 2. 试证: f(z)?z(1?z)在割去线段0?Rez?1的z平面内能分出两

个单值解析分支, 并求出支割线0?Rez?1上岸取正值的那支在z??1的值.

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《复变函数》考试试题(二)

二. 填空题. (20分) 1. 设z??i,则|z|?__,argz?__,z?__

2.

f(z)?(x2?2xy)?i(1?sin(x2?y2),?z?x?iy?C,

zlim?1?if(z)?________.

3.

?dz|z?z?0|?1(z?zn_________.(n为自然数)

0)?4. 幂级数?nzn的收敛半径为__________ .

n?05. 若z0是f(z)的m阶零点且m>0,则z0是f'(z)的_____零点. 6. 函数ez

的周期为__________.

7. 方程2z5?z3?3z?8?0在单位圆内的零点个数为________. 8. 设f(z)?11?z2,则f(z)的孤立奇点有_________.

9. 函数f(z)?|z|的不解析点之集为________.

10.

Res(z?1z4,1)?____.

三. 计算题. (40分)

31. 求函数sin(2z)的幂级数展开式.

2. 在复平面上取上半虚轴作割线. 试在所得的区域内取定函数

z在正

实轴取正实值的一个解析分支,并求它在上半虚轴左沿的点及右沿的点

z?i处的值.

3. 计算积分:I??i?i|z|dz,积分路径为(1)单位圆(|z|?1)

的右半圆.

?sinzz?2dz24. 求

(z??2).

四. 证明题. (20分)

1. 设函数f(z)在区域D内解析,试证:f(z)在D内为常数的充要条件是f(z)在D内解析.

2. 试用儒歇定理证明代数基本定理.

《复变函数》考试试题(三)

二. 填空题. (20分) 1. 设f(z)?1z2?1,则f(z)的定义域为___________.

2. 函数ez的周期为_________.

2

3. 若zn?2nn?1?n?i(1?1n),则lim??zn?__________.

n4. sin2z?cos2z?___________.

5.

?dz|z?z(z?zn?0|?1_________.(n为自然数)

0)?6. 幂级数?nxn的收敛半径为__________.

n?07. 设

f(z)?1z2?1,则f(z)的孤立奇点有__________.

8. 设ez??1,则z?___.

9. 若z0是

f(z)的极点,则limf(z)?___.

z?z0z10. Res(ezn,0)?____.

三. 计算题. (40分)

11. 将函数f(z)?z2ez在圆环域0?z??内展为Laurent级数.

??2. 试求幂级数

?n!nnz的收敛半径.

n?nz3. 算下列积分:

?edz|z|?1.

Cz2(z2,其中?9)C是4. 求z9?2z6?z2?8z?2?0在|z|<1内根的个数.

四. 证明题. (20分)

1. 函数

f(z)在区域D内解析. 证明:如果|f(z)|在D内为常

数,那么它在D内为常数. 2. 设

f(z)是一整函数,并且假定存在着一个正整数n,以及两个正数

R及M,使得当|z|?R时

|f(z)|?M|z|n,

证明f(z)是一个至多n次的多项式或一常数。

《复变函数》考试试题(四)

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二. 填空题. (20分) 1. 设z?1,则1?iRez?__,Imz?___. 2. 若limzz1?z2?...?znn??,则limn?______________.

n??n??3. 函数ez的周期为__________. 4. 函数f(z)?11?z2的幂级数展开式为__________

5. 若函数f(z)在复平面上处处解析,则称它是___________.

6. 若函数f(z)在区域D内除去有限个极点之外处处解析,则称它是D内的_____________. 7. 设C:|z|?1,则?(z?1)dz?___.

C8.

sinz的孤立奇点为________.

z9. 若z0是

f(z)的极点,则limf(z)?___.

z?z010.

Res(ezzn,0)?_____________.

三. 计算题. (40分) 1. 解方程z3?1?0.

z2. 设f(z)?e,求z2?1Res(f(z),?).

3.

?z|z|?2(9?z2)(z?i)dz. .

1?14. 函数f(z)?ez?1z有哪些奇点?各属何类型(若是极点,指明它

的阶数).

四. 证明题. (20分)

1. 证明:若函数

f(z)在上半平面解析,则函数f(z)在下半平面解

析.

2. 证明z4?6z?3?0方程在1?|z|?2内仅有3个根.

《复变函数》考试试题(五)

二. 填空题.(20分) 1. 设z?1?3i,则|z|?__,argz?__,z?__.

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