(1)若函数f(x)在(e,+∞)内有极值,求实数a的取值范围;
(2)在(1)的条件下,对任意t∈(1,+∞),s∈(0,1),求证:f(t)-f(s)>e+2-1
e
.
(1)解由定义域为(0,1)∪(1,+∞),
f'(x)=1????2-(??+2)??+1???
(??-1)
2=??(??-1)
2,
设h(x)=x2
-(a+2)x+1,
要使y=f(x)在(e,+∞)上有极值,
则x2
-(a+2)x+1=0有两个不同的实根x1,x2,
∴Δ=(a+2)2-4>0,∴a>0或a<-4,①
且至少有一根在区间(e,+∞)上,又∵x1·x2=1,
∴只有一根在区间(e,+∞)上,不妨设x2>e,
∴0 1 又h(0)=1, ∴只需h1e <0,即11 e2-(a+2)e+1<0, ∴a>e+1 e-2,② 联立①②可得a>e+1 e-2. 即实数a的取值范围是e+1 e-2,+∞. (2)证明由(1)知,当x∈(1,x2)时,f'(x)<0, 41 f(x)单调递减, 当x∈(x2,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, ∴f(x)在(1,+∞)上有最小值f(x2), 即?t∈(1,+∞),都有f(t)≥f(x2), 又当x∈(0,x1)时,f'(x)>0,f(x)单调递增, 当x∈(x1,1)时,f'(x)<0,f(x)单调递减, ∴f(x)在(0,1)上有最大值f(x1), 即对?s∈(0,1),都有f(s)≤f(x1), 又∵x1+x2=2+a,x1x2=1, x1∈0,1 e,x2∈(e,+∞), ∴f(t)-f(s)≥f(x2)-f(x1) =lnx??2+??-1-lnx??1-2 ??1 -1 =ln??2??????+ 1 ??2 -1 ???1-1 =ln??21 2+x2-??(x2>e), 2 设k(x)=lnx2 +x-11 ??=2lnx+x-??(x>e), 则k'(x)=2 1 ??+1+??>0(x>e), 2 ∴k(x)在(e,+∞)上单调递增, ∴k(x)>k(e)=2+e-1 e, 42 ∴f(t)-f(s)>e+2-e. 1 4.(2019河南商丘模拟)已知函数f(x)=(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)-x(a>0). 2 (1)如图,设直线x=-2,y=-x将坐标平面分成Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ四个区域(不含边界),若函数y=f(x)的图象恰好位于其中一个区域内,判断其所在的区域并求对应的a的取值范围; 1 (2)当a>2时,求证:?x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2,有f(x1)+f(x2)<2f1 ??1+??2 2 . (1)解函数f(x)的定义域为-2,+∞, 且当x=0时,f(0)=-a<0. 又∵直线y=-x恰好通过原点, 1 ∴函数y=f(x)的图象应位于区域Ⅳ内, 于是可得f(x)<-x, 即(2x+1)ln(2x+1)-a(2x+1)-x<-x. 2 ∵2x+1>0,∴a>ln(2??+1)2??+1 . 令h(x)=ln(2??+1)2??+1 x>-2, 1 1 则h'(x)=2-2ln(2??+1)(2??+1) 2 x>-2. 43 ∴当x∈-1e-1 2, 2 时,h'(x)>0,h(x)单调递增; 当x∈e-12 ,+∞时,h'(x)<0,h(x)单调递减. ∴h(x)max=he-12 =1 e, ∴a的取值范围是1 e,+∞. 证明∵f'(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1, 设u(x)=2ln(2x+1)-4a(2x+1)+1, 则u'(x)=41 2??+1 -8ax>-2, ∵当x>0时,4 4,当a>1 2??+1<2时,8a>4, ∴u'(x)=4 2??+1-8a<0, ∴当x>0时,f'(x)为减函数, 不妨设x2>x1>0, 令g(x)=f(x)+f(x??+??1)-2f1 2 (x>x1), 可得g(x1)=0, g'(x)=f'(x)-f'??+??1 2 , ∵x>??+??1 2 且f'(x)是(0,+∞)上的减函数,